Жан д аламбер. Д’Аламбер Жан Лерон. Основные идеи Дидро

Д’АЛАМБЕР (D’Alembert) Жан Лерон (16.11.1717, Париж - 29.10.1783, там же), французский математик и философ, член Парижской Академии Наук (1741), Французской академии (1754, с 1772 её постоянный секретарь), иностранный почётный член Петербургской Академии Наук (1764) и других научных учреждений. Незаконный сын мадам де Тансен и Детуша, воспитывался в семье стекольщика. Брат драматурга Детуша. Окончил Коллеж Мазарини (1735), где изучал право. Самостоятельно занимался математикой. С 1747 года работал вместе с Д. Дидро над созданием «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел», вёл отделы математики и физики. С 1757 года отошёл от работы в «Энциклопедии» и целиком посвятил себя научной деятельности. Впервые сформулировал (1743) общие правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем, сведя задачи динамики к статике (Д’Аламбера принцип). Этот подход был применён им (1774) для обоснования гидродинамики. В астрономии Д’Аламбер обосновал теорию возмущения планет и теорию равноденствий и нутации (1747).

Основные математические труды Д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка с частными производными, выражающего поперечные колебания струны (волнового уравнения). Эти труды Д’Аламбера, а также последующие работы Л. Эйлера и Д. Бернулли составили основу математической физики. При решении одного дифференциального уравнения с частными производными, встретившегося в гидродинамике, Д’Аламбер впервые применил функции комплексного переменного. У Д’Аламбера (а также и у Эйлера) встречаются те уравнения, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции, которые впоследствии получили название уравнений Коши - Римана. Д’Аламберу принадлежат также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений 1-го и 2-го порядков. Исчисление бесконечно малых Д’Аламбер стремился обосновать с помощью теории пределов, в теории рядов его имя носит достаточный признак сходимости ряда (признак Д’Аламбера). В алгебре Д’Аламбер дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы о существовании корня у алгебраического уравнения.

В программной вступительной статье к «Энциклопедии» («Discours préliminaire l’Encyclopédie», 1751), содержащей «Очерк происхождения и развития наук» (русский перевод в книге «Родоначальники позитивизма», 1910, т. 1), Д’Аламбер дал классификацию наук, восходящую к концепции Ф. Бэкона. Сенсуалистическая теория познания в духе идей Дж. Локка сочеталась у Д’Аламбера со скептическим отношением к любым метафизическим утверждениям, выходящим за пределы опыта. Философские взгляды Д’Аламбера стали предметом критики Д. Дидро в его трилогии «Сон Д’Аламбера», «Разговор Д’Аламбера и Дидро», «Продолжение разговора».

«Самый музыкальный из энциклопедистов» (определение Р. Роллана), Д’Аламбер посвятил музыке часть «Очерка происхождения и развития наук» и ряд статей для «Энциклопедии». Популяризировал учение о гармонии Ж. Ф. Рамо в книге «Элементы теоретической и практической музыки согласно принципам г. Рамо» (1752). Отстаивал типичные для эстетики Просвещения воззрения на музыку; в частности, подчёркивал её миметическую (подражательную) природу («Музыка, которая ничего не изображает, есть попросту шум»). В трактате «О свободе музыки» (1760) подвёл итоги так называемой войны буффонов - полемики вокруг музыки и оперного искусства середины 18 века, участником которой он был.

Соч.: Œuvres. Р., 1821-1822. Vol. 1-5; Динамика. М.; Л., 1950.

Лит.: Добровольский В. А. Даламбер. М., 1968; История математики. М., 1972. Т. 3; Hankins Th. L. J. d’Alembert: science and the enlightenment. N. Y., 1990.

французский учёный-энциклопедист

Краткая биография

Жан Леро́н Д’Аламбе́р (д’Аламбер , Даламбер ; фр. Jean Le Rond D"Alembert, d"Alembert; 16 ноября 1717 - 29 октября 1783) - французский учёный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик. Член Парижской академии наук (1740), Французской Академии (1754), Петербургской (1764) и других академий.

Д’Аламбер был незаконным сыном маркизы де Тансен и, по всей вероятности, австрийского герцога Леопольда Филиппа Аренберга. Вскоре после рождения младенец был подкинут матерью на ступени парижской «Круглой церкви Св. Иоанна», которая располагалась у северной башни собора Собора Парижской Богоматери. По обычаю, в честь этой церкви ребёнок был назван Жаном Лероном. Вначале ребёнка поместили в Больницу Подкидышей. Затем доверенное лицо герцога артиллерийский офицер Луи-Камю Детуш, получивший деньги для воспитания мальчика, устроил его в семье стекольщика .

Вернувшись во Францию, Детуш привязался к мальчику, часто навещал его, помогал приёмным родителям и оплатил образование Д’Аламбера. Мать-маркиза никакого интереса к сыну так и не проявила. Позднее, став знаменитым, Д’Аламбер никогда не забывал стекольщика и его жену, помогал им материально и всегда с гордостью называл своими родителями.

Фамилия Д’Аламбер, по одним сведениям, произведена из имени его приёмного отца Аламбера, по другим - придумана самим мальчиком или его опекунами: сначала Жан Лерон был записан в школе как Дарамбер (Daremberg ), потом сменил это имя на D’Alembert .

1726: Детуш, уже ставший генералом, неожиданно умирает. По завещанию Д’Аламбер получает пособие в 1200 ливров в год и препоручается вниманию родственников. Мальчик воспитывается наряду с двоюродными братьями и сёстрами, но живёт по-прежнему в семье стекольщика. Он жил в доме приёмных родителей до 1765 года, то есть до 48-летнего возраста.

Рано проявившийся талант позволил мальчику получить хорошее образование - сначала в коллегии Мазарини (получил степень магистра свободных наук), затем в Академии юридических наук, где он получил звание лиценциата прав. Однако профессия адвоката ему была не по душе, и он стал изучать математику.

Уже в возрасте 22 лет Д’Аламбер представил Парижской академии свои сочинения, а в 23 года был избран адъюнктом Академии.

1743: вышел «Трактат о динамике », где сформулирован фундаментальный «Принцип Д’Аламбера», сводящий динамику несвободной системы к статике. Здесь он впервые сформулировал общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем.

Позже этот принцип был применен им в трактате «Рассуждения об общей причине ветров» (1774) для обоснования гидродинамики, где он доказал существование - наряду с океанскими - также и воздушных приливов.

1748: блестящее исследование задачи о колебаниях струны.

С 1751 года Д’Аламбер работал вместе с Дидро над созданием знаменитой «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел ». Статьи 17-томной «Энциклопедии», относящиеся к математике и физике, написаны Д’Аламбером. В 1757 году, не выдержав преследований реакции, которым подвергалась его деятельность в «Энциклопедии», он отошёл от её издания и целиком посвятил себя научной работе (хотя статьи для «Энциклопедии» продолжал писать). «Энциклопедия» сыграла большую роль в распространении идей Просвещения и идеологической подготовке Французской революции.

1754: Д’Аламбер становится членом Французской Академии.

1764: в статье «Размерность» (для Энциклопедии) впервые высказана мысль о возможности рассматривать время как четвёртое измерение.

Д’Аламбер вёл активную переписку с российской императрицей Екатериной II . В середине 1760-х годов Д’Аламбер был приглашён ею в Россию в качестве воспитателя наследника престола, однако приглашения не принял. В 1764 г. был избран иностранным почётным членом Петербургской академии наук.

1772: Д’Аламбер избран непременным секретарём Французской Академии.

1783: после долгой болезни Д’Аламбер умер. Церковь отказала «отъявленному атеисту» в месте на кладбище, и его похоронили в общей могиле, ничем не обозначенной.

В честь Д’Аламбера назван кратер на обратной стороне Луны.

Научные достижения

Математика

В первых томах знаменитой «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные статьи: «Дифференциалы»,«Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.

Исчисление бесконечно малых Д’Аламбер стремился обосновать с помощью теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию «метафизики анализа». Он назвал одну величину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличается от неё менее чем на любую заданную величину. «Дифференцирование уравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношения конечных разностей двух переменных, входящих в уравнение » - эта фраза могла бы стоять и в современном учебнике. Он исключил из анализа понятие актуальной бесконечно малой, допуская его лишь для краткости речи.

Перспективность его подхода несколько снижалась тем, что стремление к пределу он почему-то понимал как монотонное (видимо, чтобы Δ x ≠ 0 ), да и внятной теории пределов Д’Аламбер не дал, ограничившись теоремами о единственности предела и о пределе произведения. Большинство математиков (в том числе Лазар Карно) возражали против теории пределов, так как она, по их мнению, устанавливала излишние ограничения - рассматривала бесконечно малые не сами по себе, а всегда в отношении одной к другой, и нельзя было в стиле Лейбница свободно использовать алгебру дифференциалов. И всё же подход Д’Аламбера к обоснованию анализа в конце концов одержал верх - правда, только в XIX веке.

В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости.

Основные математические исследования Д’Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений, где он дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных, описывающего поперечные колебания струны (волнового уравнения). Д’Аламбер представил решение как сумму двух произвольных функций, и по т. н. граничным условиям сумел выразить одну из них через другую. Эти работы Д’Аламбера, а также последующие работы Л. Эйлера и Д. Бернулли составили основу математической физики.

В 1752 году, при решении одного дифференциального уравнения с частными производными эллиптического типа (модель обтекания тела), встретившегося в гидродинамике, Д’Аламбер впервые применил функции комплексного переменного. У Д’Аламбера (а вместе с тем и у Л. Эйлера) встречаются те уравнения, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции, которые впоследствии получили название условия Коши - Римана, хотя по справедливости их следовало бы назвать условиями Д’Аламбера - Эйлера. Позже те же методы применялись в теории потенциала. С этого момента начинается широкое и плодотворное использование комплексных величин в гидродинамике.

Д’Аламберу принадлежат также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений 1-го и 2-го порядков.

Д’Аламбер дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы алгебры. Во Франции она называется теоремой Д’Аламбера - Гаусса.

Физика, механика и другие работы

Выше уже упоминался открытый им принцип Д’Аламбера, указавший, как строить математическую модель движения несвободных систем.

Выдающийся вклад Д’Аламбер внёс также в небесную механику. Он обосновал теорию возмущения планет и первым строго объяснил теорию предварения равноденствий и нутации.

Опираясь на систему Фрэнсиса Бэкона , Д’Аламбер классифицировал науки, положив начало современному понятию «гуманитарные науки».

Д’Аламберу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики: трактат «О свободе музыки», в котором подведены итоги т. н. войны буффонов - борьбы вокруг вопросов оперного искусства, и др.

Философия

Из философских работ наиболее важное значение имеют вступительная статья к «Энциклопедии», «Очерк происхождения и развития наук» (1751, рус. пер. в книге «Родоначальники позитивизма», 1910), в которой дана классификация наук, и «Элементы философии» (1759).

В теории познания вслед за Дж. Локком Д’Аламбер придерживался сенсуализма. В решении основных философских вопросов Д’Аламбер склонялся к скептицизму, считая невозможным что-либо достоверно утверждать о Боге, взаимодействии его с материей, вечности или сотворённости материи и т. п. Сомневаясь в существовании Бога и выступая с антиклерикальной критикой, Д’Аламбер, однако, не встал на позиции атеизма.

В отличие от французских материалистов, Д’Аламбер считал, что существуют неизменные, не зависящие от общественной среды нравственные принципы. Взгляды Д’Аламбера по вопросам теории познания и религии были подвергнуты критике со стороны Дидро в произведении: «Сон Д’Аламбера» (1769), «Разговор Д’Аламбера и Дидро» (1769) и др.

Жан Лерон Даламбер (1717-1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконно­рожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого - Jean le Rond , откуда и его имя ,- и воспитан бедным стекольщиком Аламбером - откуда его фамилия d’Alembert .

Выдвинувшись благодаря своим исключительным спо­собностям , он уже в 1741 г. за работы по математике и механике был избран членом Парижской академии наук ; с 1772 г. Даламбер занимал пост непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в том числе с 1764 г. почетным членом Пе­тербургской академии наук.

По своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического материа­лизма, и в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713-1784) основал знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел» .

Даламберу принадлежит вступительная статья к «Энциклопедии», озаглавленная «Очерк проис­хождения и развития наук» , где приведена классифи­кация наук. В первых томах «Энциклопедии» он опубли­ковал важные статьи по математике и механике - «Пре­дел», «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».

Труды Даламбера в математической области часто были связаны с его исследования­ми по механике . Так, например, изучение теории функ­ций комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике . Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой — таково, например, «уравнение стру­ны» .

К середине XVIII в. работы Даламбера вместе с исследования­ми и совершенно преобразовали механик у. По содержанию она стала нау­кой, охватывающей все виды движения материальных то­чек и их систем , а по форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все достиже­ния математического анализа.

Даламберу принадлежат работы как по общим пробле­мам механики , так и по гидродинамике, теории колеба­ний и волн, теории движения твердого тела, небесной механике и др.

Пер­вая часть «Трактата» посвящена построению аналитической статики . Здесь Даламбер формулирует «основные принципы механики» , которыми он считает «принцип инерции» , «принцип сложения движений» и «принцип равновесия» .

«Принцип инерции» сформулирован отдель­но для случая покоя и для случая равномерного пря­молинейного движения .

«Принцип сложения движений» представляет собой закон сложения скоростей по правилу параллелограмма .

«Принцип равновесия» сформулирован в виде следующей теоремы: «Если два тела, обладаю­щие скоростями, обратно пропорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь место равновесие».

Во второй части трактата, называемой «Общий принцип для нахождения движения многих тел, произвольным обра­зом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа», Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движе­ния любых материальных систем , основанный на сведе­нии задачи динамики к статике . Здесь для любой си­стемы материальных точек формулируется правило , наз­ванное впоследствии «принципом Даламбера» , согласно которому приложенные к точкам системы силы можно разложить на «действующие», т. е. вызывающие уско­рение системы, и «потерянные», необходимые для равно­весия системы.

Даламбер считает, что силы, соответствующие «потерян­ным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая никак не влияет на фактическое поведение системы. Иными словами, если к системе приложить только совокуп­ность «потерянных» сил, то система останется в покое .

Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для реше­ния которых, по мнению Даламбера , необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел, соударяющихся произвольным образом, движение систе­мы тел, связанных стержнями и нитями , и др.

В «Трак­тате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при помощи нитей или жест­ких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изло­жении своего принципа не пользовался ни понятием си­лы (считая, что оно не обладает достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем более понятием силы инерции .

Изложение принципа Даламбера с применением термина «сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа воз­можных перемещений .

В дальнейшем (с начала XIX в.) вектор m i v i стали называть силой инерции материаль­ной точки , а уравнение, выражающее принцип Даламбе­ра , трактовать как утверждение о равновесии между при­ложенными к системе силами и силами инерции.

Значение принципа Даламбер видел в общности под­хода к задачам механики. Высокую оценку труду Далам­бера дал Лагранж , по мнению которого, хотя «...этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходи­мых для решения проблем динамики, но он показыва­ет, каким образом они могут быть выведены из усло­вий равновесия».

Существенные результаты получил Даламбер в динами­ке твердого тела и небесной механике . В 1749 г. был опубликован его мемуар «Исследования о предварении равноденствий и нутаций оси Земли» , в котором рас­сматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Лу­не . Оперируя понятиями моментов инерции и вводя глав­ные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмот­рел малые колебания Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и привел полное динамическое объяснение .

В 1751 г. в ра­боте «О движении тела произвольной формы под дейст­вием любых сил» Даламбер дал более систематическое изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции .

А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для притя­жения эллипсоида, близкого к сфере . Даламбер в третьей части «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756), получил более об­щие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих форму эллипсоида .

Всякий человек, знакомый с механикой, знает закон Д’Аламбера, понимает его значение и с уважением произносит это имя. Истинный же математик и астроном говорит о Д’Аламбере с восторгом и благоговением, потому что видит в нем преемника Ньютона и великого учителя Лагранжа и Лапласа. Человек, обладающий широким общим образованием, непременно проникнут глубоким уважением к Д’Аламберу как к одному из главных сотрудников знаменитой «Энциклопедии» XVIII столетия.

Е.Ф. Литвинова

Жан Лерон Д’Аламбер (16 ноября 1717 - 29 октября 1783) - французский учёный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик.

Один из всестороннейших и влиятельнейших умов XVIII века Жан Лерон Д’Аламбер родился в Париже. Жизненный путь ученого начался весьма необычно. 16 ноября 1717 на паперти парижской церкви Сен-Жан-ле-Рон был найден младенец в кружевных пеленках. Вскоре выяснилось и его происхождение - подкидыш оказался внебрачным сыном писательницы Тансен и офицера Детуша. Когда Жан Лерон появился на свет (так он был назван по имени церкви, около которой был найден), его отца не было во Франции и мать решила избавиться от внебрачного ребенка. Вернувшись во Францию, Детуш разыскал сына, забрал его из деревни и поместил в семью стекольщика Руссо, где Жан прожил большую часть своей жизни. Отец часто навещал сына, радовался его детским шалостям и восторгался необыкновенными способностями малыша.

В 1726 году Детуш, уже ставший генералом, неожиданно умирает. По завещанию Д’Аламбер получает пособие в 1200 ливров в год и препоручается вниманию родственников. Мальчик воспитывается наряду с двоюродными братьями и сёстрами, но живёт по-прежнему в семье стекольщика. Он жил в доме приёмных родителей до 1765 года, то есть до 48-летнего возраста.

В четыре года Жана Лерона отдали в пансион, и с этого возраста он стал прилежно учиться, поражая учителей выдающимися умственными способностями.

В 13 лет он поступил в колледж имени Мазарини, по окончании которого получил звание бакалавра искусств. В училище Жан Лерон изучал языки (латынь и греческий он знал так, что в подлиннике мог читать Архимеда, Птоломея и других авторов), риторику, литературу, физику и математику. Последний предмет Д"Аламбер полюбил самозабвенно, чему немало способствовал его учитель Карон.

После окончания колледжа встал вопрос о выборе профессии. Родные Жана были против его увлечения математикой, и он поступил в двухгодичную академию юридических наук, из которой вышел в звании лиценциата прав (промежуточная степень между бакалавром и доктором). Затем Д"Аламбер начал изучать медицину. Чтобы от этих занятий его не отвлекала математика, Жан собрал все свои математические книги и отнес к приятелю. Но Жан уже не мог не думать о математике. Время от времени ему нужна была то одна книга, то другая - для справок, для проверки правильности найденного решения и т.д. Постепенно он перетащил всю свою библиотеку назад в дом супругов Руссо, где он жил. Одновременно Жан изучал философию, литературу и настолько преуспел в занятиях филологией, что в 23 года был избран во Французскую академию, т.е. стал одним из сорока "бессмертных".

Вся жизнь Д"Аламбера была заполнена неустанным трудом. Госпожа Руссо называла своего воспитанника философом и поясняла при этом, что "философ это такой странный человек, который лишает себя при жизни всего, работает как вол с утра до вечера, и все для того только, чтобы о нем говорили после его смерти". Но Д"Аламбер не думал о будущей славе. Он находил наслаждение в занятиях математикой. "Математика, - говорил он, - это моя самая старая и верная любовь".

Первые труды Д’Аламбера по математике и физике были посвящены движению твердых тел в жидкостях и интегральному исчислению. Известность Д"Аламберу принес «Трактат по динамике» (1743), в котором был описан метод сведения динамики твердых тел к статике (принцип Д"Аламбера). Согласно этому принципу движение твердых тел можно свести к движению отдельных частиц массы.

В 1746 в работе «Исследования по интегральному исчислению» он дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы алгебры о существовании корней алгебраического уравнения. Окончательное решение этой принадлежит Гауссу.

В 1747 ученый опубликовал статью по теории поперечных колебаний струн, где дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных. Он получил также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, ввел понятие предела, в теории рядов ввел достаточный признак сходимости, носящий его имя; размышлял о теории вероятностей (парадокс Д"Аламбера).

Вместе с Дидро был главным редактором знаменитой Энциклопедии, или Толкового словаря наук, искусств и ремесел (28 томов), где вел также физический и математический отделы. Кроме статей по математике и физике, он написал вводную главу - Очерк происхождения и развития наук, в которой, следуя в основном Ф. Бэкону, представил классификацию различных областей знания, проследил их возникновение и взаимосвязь, и провозгласил наступление эры естественных наук.

Д"Аламбер внес серьезный вклад в развитие фундаментальных принципов современной механики, его труды вместе с работами Эйлера, братьев Бернулли и Клеро заложили основания математической физики. Ему принадлежат классические работы по теории движения жидкости, задаче трех тел, нутации Земли, движению Луны, движению ветра и др. В механике он стремился обойтись без понятия силы, имевшего для него сильный «метафизический привкус». Математические работы Д"Аламбера основаны на принципе непрерывности Лейбница, позволившем ему ближе всего подойти к современному пониманию предела.

Д"Аламбер был избран во все существовавшие тогда академии наук (в Парижскую - в 1754 году, в Петербургскую - в 1764 году).

Д"Аламбер покровительствовал многим ученым. Так по его предложению прусский король Фридрих II назначил президентом Берлинской академии наук Ж.Л.Лагранжа. Сам Д"Аламбер отказался занять этот пост.

Отказался он и от предложения русской императрицы Екатерины II быть воспитателем ее сына Павла. Д"Аламбер говорил, что он не может жить вне Франции, вне Парижа. В последние годы жизни он занимался историей науки и написал биографии многих членов Парижской академии.

В личной жизни он был несчастлив. Семнадцать лет он безответно любил одну и ту же женщину - госпожу Леспинас. Когда она умерла, многое потеряло для него ценность.

Д"Аламбер умер 29 октября 1783 года одиноким стариком. Перед смертью долго и мучительно болел. Был такой же ненастный вечер, как и при его рождении. Завывал ветер и моросил мелкий дождь.

Имя Д"Аламбера носят следующие математические объекты:

• оператор Д’Аламбера
• признак Д’Аламбера
• принцип Д’Аламбера
• уравнение Д’Аламбера
• формула Д’Аламбера.

Признаки сходимости рядов.
Признак Даламбера. Признаки Коши

Работайте, работайте – а понимание придёт потом
Ж.Л. Даламбер

Всех поздравляю с началом учебного года! Сегодня 1 сентября, и я решил в честь праздника познакомить читателей с тем, что вы давно с нетерпением ждали и жаждали узнать – признаками сходимости числовых положительных рядов . Праздник Первое сентября и мои поздравления всегда актуальны, ничего страшного, если на самом деле за окном лето, вы же сейчас в третий раз пересдаете экзамен учитесь, если зашли на эту страничку!

Для тех, кто только начинает изучать ряды, рекомендую для начала ознакомиться со статьей Числовые ряды для чайников . Собственно, данная телега является продолжением банкета. Итак, сегодня на уроке мы рассмотрим примеры и решения по темам:

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны. Как всегда, постараюсь изложить материал просто, доступно и понятно. Тема не самая сложная, и все задания в известной степени трафаретны.

Признак сходимости Даламбера

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовой предельный признак сравнения . Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:

1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
4) Многочленов и корней, разумеется, может быть и больше.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел . Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:





…


…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера : Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится
б) При ряд расходится
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения .

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к уроку Пределы. Примеры решений . Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

А сейчас долгожданные примеры.

Пример 1

Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.

Используем признак Даламбера:


сходится.

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: . Из условия мы видим, что общий член ряда . Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо подставить : .
При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на . Константу выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-й степени. Что делать, если там многочлен 3-й, 4-й или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.

Пример 2

Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:


Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение в числителе и выражение в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: , чего делать совершенно не хочется. А для тех, кто не знаком с биномом Ньютона , эта задача окажется ещё сложнее. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки , то получим старшую степень . Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и – одного порядка роста . Таким образом, вполне можно обвести отношение простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и , они тоже одного порядка роста , и их отношение стремится к единице.

На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере № 1, но для многочлена 2-й степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-й и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость

Рассмотрим типовые примеры с факториалами:

Пример 4

Исследовать ряд на сходимость

В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем.

Таким образом, исследуемый ряд расходится .

(1) Составляем отношение . Повторяем еще раз. По условию общий член ряда: . Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо нужно подставить , таким образом: .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Отщипываем семерку от степени. Факториалы расписываем подробно . Как это сделать – см. начало урока или статью о числовых последовательностях .
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость

Полное решение и образец оформления в конце урока

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:

Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда , то следующий член ряда:
. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что

Примерный образец решения может выглядеть так:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится . В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн» . Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:


Таким образом, исследуемый ряд расходится .

(1) Оформляем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что
(4) В результате у нас получилась неопределенность . Здесь можно было пойти длинным путем: возвести в куб, возвести в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени. Но в данном случае есть более эффективное решение: можно почленно поделить числитель и знаменатель прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень).
(5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что и делаем вывод о том, что ряд расходится.

А вот более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

И еще пара типовых примеров.

Полное решение и образец оформления в конце урока

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость
Используем радикальный признак Коши:


Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Помещаем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что .
(4) Получена неопределенность вида . Здесь можно прямо в скобке почленно поделить числитель на знаменатель на «эн» в старшей степени. Нечто подобное у нас встречалось при изучении второго замечательного предела . Но здесь ситуация другая. Если бы коэффициенты при старших степенях были одинаковыми , например: , то фокус с почленным делением уже бы не прошел, и надо было бы использовать второй замечательный предел. Но у нас эти коэффициенты разные (5 и 6), поэтому можно (и нужно) делить почленно (кстати, наоборот – второй замечательный предел при разных коэффициентах при старших степенях уже не прокатывает). Если помните, эти тонкости рассматривались в последнем параграфе статьи Методы решения пределов .
(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: . Почему в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому что основание степени удовлетворяет неравенству . Если у кого есть сомнения в справедливости предела , то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
… и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе:

Прямо таки бесконечно убывающая геометрическая прогрессия на пальцах =)

(7) Указываем, что и делаем вывод о том, что ряд сходится.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: . Здесь в показателе степени нет «эн» , только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников . В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.

Интегральный признак Коши

Или просто интегральный признак. Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак не слишком строго, но понятно:

Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует несобственный интеграл , то ряд сходится или расходится вместе с этим интегралом.

И сразу примеры для пояснения:

Пример 11

Исследовать ряд на сходимость

Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда содержатся множители, похожие на некоторую функцию и её производную. Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой каноничный случай.