Типовые динамические звенья систем автоматического управления. Типовые динамические звенья. Расчеты по минимуму ошибки

Пропорциональное (статическое , безынерционное ) звено . Это самое простое звено , вы­ходной сигнал которого прямо пропорционален входному сигналу :

где k - коэффициент пропорциональности или передачи звена.

Примерами такого звена являются: а) клапаны с линеаризованными характеристиками (когда изменение расхода жидкости пропорционально степени изменения положения штока ) в рассмотренных выше примерах систем регулирования; б) делитель напряжения; в) рычаж­ная передача и др.

Переходя в (3.1) к изображениям, имеем:

1. Передаточная функция : .

2. Переходная характеристика : , следовательно .

3. Импульсная переходная характеристика : .

4. КЧХ : .

6. ФЧХ: .

Принятое описание связи между входом и выходом справедливо только для идеального звена и соответствует реальным звеньям лишь при низких частотах , . При в реальных звеньях коэффициент передачи k начинает зависеть от частоты и при высоких частотах падает до нуля.

Запаздывающее звено . Это звено описывается уравне­нием

где – время запаздывания.

Примером запаздывающего звена служат: а) длинные электрические линии без потерь; б) длинный трубопровод и др.

Передаточная функция , переходная и импульсная переходная характеристика , КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ этого звена:

2. , значит: .

На рис.3.1 изображены: а) годограф КЧХ запаздывающего звена ; б) АЧХ и ФЧХ запазды­вающего звена. Заметим, что при увеличении конец вектора описывает по часовой стрелке все возрас­тающий угол.

Рис.3.1 . Годограф (а) и АЧХ, ФЧХ (б) запаздывающего звена.

Интегрирующее звено . Это звено описывается уравне­нием

где - коэффициент передачи звена.

Примерами реальных элементов, эквивалентные схемы которых сводятся к интегрирующему звену , являются: а) электрический конденсатор, если считать входным сигналом ток, а выходным – напряжение на конденсаторе: ; б) вращающийся вал, если считать входным сигналом угловую скорость вращения, а выходным – угол поворота вала: ; и т.д.

Определим характеристики данного звена:

2. .

Воспользуемся таблицей преобразования Лапласа 3.1, получаем:

.

Умножаем на так как функция при .

3. .

4. .

На рис.3.2 показаны: а) годограф КЧХ интегрирующего звена; б) АЧХ и ФЧХ звена; в) переходная характеристика звена.

Рис.3.2 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б), переходная характеристика (в) интегрирующего звена.

Дифференцирующее звено . Это звено описывается урав­нением

где – коэффициент передачи звена.

Найдем характеристики звена:

2. , учитывая, что , находим: .

3. .

4. .

На рис.3.3 показаны: а) годограф звена; б) АЧХ и ФЧХ звена.

а ) б )

Рис. 3.3 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ (б) дифференцирующего звена.

Примером дифференцирую­щего звена являются идеальный конденсатор и индуктивность . Это следует из того, что напряжение u и ток i связаны для конденсатора С и индуктивности L соответственно следующими соотношениями:

Отметим, что реальная емкость обладает небольшой емкостной индуктивностью , реальная индуктивность имеет межвитковую емкость (которые особенно сильно проявляются на больших частотах), что приводит указанные выше формулы к следующему виду:

, .

Таким образом, дифференцирующее звено не может быть технически реализовано , так как порядок пра­вой части его уравнения (3.4) больше порядка левой части. А нам известно, что должно выполняться условие n > m или, в крайнем случае, n = m .

Однако можно прибли­зиться к этому уравнению данного звена , использовав инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее )звено .

Инерционно-дифференцирующее (реальное дифференцирующее ) звено описывается уравнением:

где k - коэффициент передачи звена, Т - постоянная времени.

Передаточная функция , переходная и импульсная переходная характеристики , КЧХ, АЧХ и ФЧХ этого звена определяются формулами:

Используем свойство преобразования Лапласа – смещение изображения (3.20), согласно которому: если , то .

Отсюда: .

3. .

5. .

6. .

На рис.3.4 приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

а ) б )

Рис.3.4 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена.

Для того чтобы свойства реального дифференцирующего звена приближались к свойствам идеального , необходимо одновременно увеличивать коэффициент передачи k и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение оста­валось постоянным:

kT = k д,

где k д – коэффициент передачи дифференцирующего звена.

Отсюда видно, что в размерность коэффициента передачи k д дифференцирующего звена входит время .

Инерционное звено первого порядка (апериодическое звено ) одно из самых распространен­ных звеньев САУ. Оно описывается уравнением:

где k – коэффициент передачи звена, Т – постоянная времени.

Характеристики данного звена определяются формулами:

2. .

Пользуясь свойствами интегрирования оригинала и смещением изображения имеем:

.

3. , т.к. при , то на всей временной оси данная функция равна 0 ( при ).

5. .

6. .

На рис.3.5 показаны: а) график КЧХ; б) АЧХ и ФЧХ звена.

Рис.3.5 . Годограф (а), АЧХ и ФЧХ инерционного звена первого порядка.

Интегро-дифференцирующее звено . Это звено описы­вается дифференциальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде:

где k - коэффициент передачи звена, Т 1 и Т 2 - постоянные времени.

Введем обозначение:

В зависимости от значения t звено будет обладать раз­личными свойствами. Если , то звено по своим свойствам будет приближаться к интегрирующему и инерционному звеньям. Если , то данное звено по свойствам будет ближе к диф­ференцирующему и инерционно-дифференцирующему .

Определим характеристики интегродифференцирующего звена :

1. .

2. , отсюда следует:

Т.к. при t ® 0, то:

.

6. .

На рис.3.6. приведены: а) график КЧХ; б) АЧХ; в) ФЧХ; г) переходная характеристика звена.

а ) б )

в ) г )

Рис.3.6 . Годограф (а), АЧХ (б), ФЧХ (в), переходная характеристика (г) интегродифференцирующего звена.

Инерционное звено второго порядка . Это звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

где (капа) – постоянная затухания; Т - постоянная времени, k - коэффициент передачи звена.

Реакция системы, описываемой уравнением (3.8), на единичное ступенчатое воздействие при представляет собой затухающие гармонические колебания , в этом случае звено еще называется колебательным . При колебания не возник­нут, и звено , описываемое уравнением (3.8) называется апериодическим звеном второго порядка . Если , то колебания будут незатухающими с частотой .

Примером конструктивного выполнения данного звена могут служить: а) электрический колебательный контур, содержащий емкость , индуктивность и омичес­кое сопротивление ; б) масса , подвешенная на пружине и имеющая демпфирующее устройство , и т.д.

Определим характеристики инерционного звена второго порядка :

1. .

2. .

Корни характеристического уравнения стоящего в знаменателе определяются:

.

Очевидно, что здесь возможно три случая:

1) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные разные и , тогда переходная характеристика определяется:

;

2) при корни характеристического уравнения отрицательные вещественные одинаковые :

3) при корни характеристического уравнения звена являются комплексно -сопряженными , причем

переходная характеристика определяется формулой:

,

т.е., как отмечалось выше, она приобретает колебательный характер .

3. Также имеем три случая:

1) ,

т.к. при ;

2) , т.к. при ;

3) , т.к. при .

5. .

Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:

Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета модно записать

D (p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2 +. + a n = a o (p - p 1) (p - p 2). (p - p n), (4)

где p 1 , p2,., p n - корни полинома D (p). Аналогично

K (p) = b o pm + b 1 p m - 1 +. + bm = b o (p - p ~ 1) (p - p ~ 2). (p - p ~ m), (5)

где p ~ 1 , p ~ 2 ,., p ~ m - корни полинома K (p). То есть

Корни любого полинома могут быть либо вещественными p i = a i , либо комплексными попарно сопряженными p i = a i ± j i . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель (p - a i). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как

(p - a i + j i) (p - a i - j i) = (p - ai) 2 + i 2 = p 2 - 2pa i + (a i 2 + i 2). (7)

Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.

В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то есть

W (p) = 1/p, W (p) = p, W (p) = Tp+ 1, W (p) = k (9) (11)

Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.

Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований:

1) Последовательное соединение - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего

Рисунок 4.1 - Последовательное соединение звеньев

2) Параллельно - согласное соединение - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются. Тогда:

y = y1 + y2 +. + yn = (W1 + W2 +. + W3) yo = Wэкв yo, (12)

Рисунок 4.2 - Параллельно-согласное соединение звеньев

3) Параллельно - встречное соединение - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией W ос. При этом для отрицательной ОС:

y = W п u; y 1 = W ос y; u = y o - y 1 , (13)

W экв = W п / (1 ± W п). (14)

Рисунок 4.3 - Параллельно-встречное соединение звеньев

Замкнутую систему называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последовательно соединенных элементов. Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется прямой цепью. Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют разомкнутой цепью. Исходя из приведенных выше способов эквивалентного преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функцией: Wэкв = Wп/ (1 ± Wp) - передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигнал y1 на выходе звена W1, то Wp = Wo W1. Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала. Замкнутые системы бывают одноконтурными и многоконтурной. Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование отдельных участков.

Типовые звенья САУ и их характеристики

Типовые динамические звенья

Типовым динамическим звеном САУ является составная часть системы, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звено, как правило, имеет один вход и один выход. По динамическим свойствам типовые звенья делятся на следующие разновидности: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.
Позиционными звеньями являются такие звенья, у которых в установившемся режиме наблюдается линейная зависимость между входными и выходными сигналами. При постоянном уровне входного сигнала сигнал на выходе также стремится к постоянному значению.
Дифференцирующими являются такие звенья, у которых в установившемся режиме выходной сигнал пропорционален производной по времени от входного сигнала.
Интегрирующими являются такие звенья, у которых выходной сигнал пропорционален интегралу по времени от входного сигнала.
Звено считается заданным и определенным, если известна его передаточная функция или дифференциальное уравнение. Кроме того, звенья имеют временные и частотные характеристики.
Наличие нулевых корней в числителе или знаменателе ПФ типовых звеньев - это признак для разбиения последних на три группы:

Позиционные звенья: 1, 2, 3, 4, 5, - не имеют нулевых корней, и, следовательно, в области низких частот (т.е. в установившемся режиме), имеют коэффициент передачи равный k.
Интегрирующие звенья: 6, 7, 8, - имеют нулевой корень-полюс, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к бесконечности.
Дифференцирующие звенья: 9, 10 - имеют нулевой корень-ноль, и, следовательно, в области низких частот, имеют коэффициент передачи, стремящийся к нулю.

В зависимости от величины самовыравнивания различают три типа объектов управления: устойчивый (с положительным самовыравниванием); нейтральный (с нулевым самовыравниванием); неустойчивый (с отрицательным самовыравниванием). Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак перед самой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателя передаточной функции (наличие положительного полюса).

Под законом регулирования (управления) понимается алгоритм или функциональная зависимость, определяющая управляющее воздействие u(t) на объект:
u(t) = F(Δ) , где Δ - ошибка регулирования.
Законы регулирования бывают:
- линейные:
или (3.1)
- нелинейные: .
Кроме того, законы регулирования могут быть реализованы в непрерывном виде или в цифровом. Цифровые законы регулирования реализуются путем построения регуляторов с помощью средств вычислительной техники (микро ЭВМ или микропроцессорных систем).
Наличие в (3.1) чувствительности регулятора к пропорциональной, к интегральным или к дифференциальным составляющим в первичной информации x(t), определяет тип регулятора:
1. P - пропорциональный;
2. I - интегральный;
3. PI - пропорционально интегральный (изодромный);
4. PD - пропорционально дифференциальный;
5. и более сложные варианты - PID , PIID , PIDD , ...
Нелинейные законы регулирования подразделяются на:
1. функциональные;
2. логические;
3. оптимизирующие;
4. параметрические.
В составе структуры САУ содержится управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления, путем выработки управляющего воздействия U в зависимости от ошибки (отклонения), т.е. U = f(Δ). Закон регулирования определяет вид этой зависимости без учёта инерционности элементов регулятора. Закон регулирования определяет основные качественные и количественные характеристики систем.

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции.
Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или отдельного звена W(р) и известен входной сигнал X(t), то выходной сигнал Y(t) определяется следующим соотношением:

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t). Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно. В данном разделе представлена таблица 3.1 переходов для наиболее распространенных случаев.
Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно 1/p, то изображение переходной функции определяется соотношением:

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнять переход от изображения к оригиналу.
Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.
Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

Таблица 3.1

Изображение по Лапласу и оригиналы

Изображение	Оригинал f(t)

Передаточные функции и временные характеристики типовых звеньев приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Временные характеристики типовых звеньев

Тип звена	Передаточные функции	Временные функции
Позиционные звенья
Усилительное
Апериодическое 1-го порядка
Апериодическое 2-го порядка T 1 ≥2T 2
Колебательное 0<ξ<1
Консервативное
Интегрирующие звенья
Интегрирующее идеальное
Интегрирующее инерционное
Изодромное 1-го порядка
Изодромное 2-го порядка
Дифференцирующие звенья
Идеальное дифференцирующее
Дифференцирующее инерционное
Форсирующее 1-го порядка
	6.4. Частотные характеристики звеньев САУ

В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САУ, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САУ (по управлению или по возмущению). Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.
Если задана передаточная Функция W(р), то путём подставки p=jω получаем частотную передаточную функцию W(jω), которая является комплексным выражением т.е. W(jω)=U(ω)+jV(ω), где U(ω) - вещественная составляющая, а V(ω) - мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:

W(jω)=A(ω)e jφ(ω) (3.2)

Где - модуль; - аргумент частотной передаточной функции.

Функция A(ω), представленная при изменении частоты от 0 до получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).
Функция Φ(ω), представленная при изменении частоты от 0 до называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
Таким образом, дифференциальное уравнение движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывает изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.
Частотная передаточная функция W(jω) может быть представлена на комплексной плоскости. Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САУ к входному, представленных в комплексной форме будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или годограф Найквиста. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного - АЧХ, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка - ФЧХ. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.
Для упрощения графического представления частотных характеристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных областях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.ч.х.) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (л.ф.ч.х.). При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо ω откладывается lg(ω) и единицей измерения является декада. Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз. При построений л.а.ч.х. на оси ординат единицей измерения является децибел [дБ], который представляет собой соотношение L=20 lg А(ω). Один децибел представляет собой увеличение амплитуды выхода в раз. Верхняя полуплоскость л.а.х. соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А<1 (ослабление амплитуды). Точка пересечения л.а.х. с осью абсцисс соответствует частоте среза ω ср , при которой амплитуда выходного сигнала равна входной.
Для л.ф.ч.х. на оси частот используется логарифмический масштаб, а для углов - натуральный масштаб. На практике логарифмические частотные характеристики строятся на совмещённой системе координат, которые представлены на рис. 3.2.

Рис 3.2. Схема координат для логарифмических характеристик

Главным достоинством логарифмических частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы, т.е. строить асимптотические л.ч.х.. Особенно удобно использовать логарифмические частотные характеристики при анализе всей системы, когда результирующая передаточная функция после разложения на множители приводится к виду:
(3.3)
т.е. передаточную функцию любой САУ в общем случае можно представить как произведение передаточных функций следующего вида:
- где: K r , r, T, ξ, - постоянные величины, причём K r >0, r>0, T>0, 0<ξ<1.
В этом случае построение л.а.х. производится по выражению

Построение л.ф.х. производится по выражению
Таким образом, результирующая л.а.х. определяется суммированием л.а.х. составляющих типовых звеньев, а результирующая л.ф.х. - соответственно суммированием л.ф.х. составляющих типовых звеньев.