Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так. Способ замены плоскостей проекций. Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей

Сущность способа заключается в том, что на чертеже вводится новая плоскость проекций таким образом, что предмет по отношению к ней занимает частное положение.

Рассмотрим применение этого способа к решению четырех основных задач на преобразование.

П е р в а я з а д а ч а: прямая общего
положения преобразуется в прямую уровня (рис. 5.1).

Чтобы преобразовать прямую AB общего положения в прямую уровня, необходимо ввести новую плоскость проекций параллельно АВ, т. е. на чертеже провести новую координатную ось параллельно А 1 В 1 или А 2 В 2 . В рассматриваемом случае координатная ось П 1 проведена параллельно А 1 В 1 , таким образом введена новая фронтальная плоскость проекций. Для построения проекции отрезка на этой плоскости нужно из А 1 и В 1 провести линии связи, перпендикулярные координатной осиП 1 /П 4 .

Так как высота прямой в пространстве не изменилась, то от оси П 1 /П 4 на соответствующих линиях связи откладываем высоту точек А и В, получаем А 4 и В 4 . Проекции прямой А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, параллельное новой фронтальной плос-
кости проекций. Проекция А 4 В 4 – натуральная величина отрезка АВ. Угол между натуральной величиной прямой и горизонтальной проекцией – это угол наклона АВ к горизонтальной плоскости проекций П 1 . Если есть необходимость определить угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций, тогда координатную ось П 2 /П 5 необходимо провести параллельно А 2 В 2 и на линиях связи от этой оси отложить А у и В у.

Угол между натуральной величиной и фронтальной проекцией и есть угол (β) наклона прямой АВ к П 2 .

Часто для определения натуральной величины отрезка и углов наклона прямой к плоскостям проекций пользуются способом прямоугольного треугольника, который является следствием из решения первой задачи на преобразование (рис. 5.2).

Натуральная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого – сама проекция отрезка, другой катет по величине является разностью координат концов отрезка, взятой на другой плоскости проекций.

В т о р а я з а д а ч а: прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую (рис. 5.3).

Для решения этой задачи необходимо новую плоскость проекций провести перпендикулярно натуральной величине прямой А 1 В 1 . Проекции А 1 В 1 и А 4 В 4 дают положение прямой АВ, перпендикулярное новой фронтальной плоскости проекций П 4 .

Т р е т ь я и ч е т в е р т а я з а д а ч и: плоскость общего положения преобразуется в плоскость проецирующую, и плоскость проецирующая – в плоскость уровня.

Решение этих двух задач приведено на рис. 5.4. Пусть дана плоскость общего положения – задана треугольником АВС. Чтобы преобразовать ее в проецирующую, нужно ввести новую плоскость проекций перпендикулярно треугольнику АВС, но на комплексном чертеже это возможно в том случае, если провести плоскость проекций перпендикулярно линиям уровня или следам плоскости.

С этой целью проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь. Перпендикулярно h 1 проведем координатную ось (П 1 /П 2). Прямая уровня h преобразовалась в прямую проецирующую h(h 1 h 4). Из проекции вершин треугольника А 1 ,В 1 ,С 1 проведем линии связи и от (П 1 /П 4) отложим соответствующие координаты А 2 ,В 2 ,С 2 . Проекция треугольника А 4 ,В 4 ,С 4 представляет собой прямую линию.

Таким образом, плоскость общего положения преобразована в плоскость проецирующую. Угол между проекцией треугольника А 4 В 4 С 4 и координатной осью является углом наклона плоскости к П 1 .

Задача 1. Преобразовать эпюр, изображенный на рис. 9.9 так, чтобы прямая общего положения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.

Для решения задачи необходимо расположить новую плоскость проекций параллельно заданному отрезку (П 4 ║АВ). Тогда на эту плоскость проекций отрезок проецируется без изменений.

Решение этой задачи показано на рис. 9.9,б. Параллельно А 1 В 1 проведена ось Х 1 , и в системе плоскостей проекций построена новая фронтальная проекция отрезка А 4 В 4 . Очевидно, что /А 4 В 4 /=/АВ / и угол φ , образованный проекцией А 4 В 4 с осью Х 1 равен углу наклона прямой АВ к плоскости П 1 .

Задача 2. Преобразовать эпюр, изображенный на рис. 9.10 так, чтобы отрезок АВ прямой линии общего положения оказался перпендикулярным одной из плоскостей проекций.

Для решения задачи нужно произвести последовательно две замены плоскостей проекций:

1) систему заменяем системой , расположив плоскость П 4 параллельно АВ ;

2) от системы переходим к , расположив плоскость П 5 перпендикулярно прямой АВ . Выполненные построения приведены на рис. 9.10.

Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую.

Для решения данной задачи необходимо ввести новую плоскость проекций так, чтобы она была перпендикулярна заданной плоскости Γ(АВС) и одной из плоскостей проекций, т.е. перпендикулярна линии их пересечения. Линией пересечения плоскости Γ с плоскостью проекций является соответствующий след плоскости Γ. Поэтому новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна одному из следов данной плоскости или одной из ее линий уровня, которая параллельна соответствующему следу.

На рис.9.11 показано преобразование плоскости Γ(АВС) в проецирующую. Для этого в плоскости Γ проведена горизонталь h(h 2 h 1) и перпендикулярно к ней, а, следовательно, и ко всей плоскости Γ введена новая плоскость П 4 , для чего ось Х 1 новой системы плоскостей проекций проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Х 1┴ h 1, и в соответствии с известным правилом построена новая проекция А 4 В 4 С 4 треугольника АВС , представляющая отрезок прямой линии. После проведенных построений плоскость Γ(АВС) П 4 и с плоскостью П 1 составляет угол a.

Задача 4. Преобразовать плоскость общего положения Γ(АВС) в плоскость уровня.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня производится последовательно двумя заменами плоскостей проекций - вначале плоскость общего положения преобразуется в проецирующую, затем полученная проецирующая плоскость преобразуется в плоскость уровня.

На рис.9.12 для преобразования плоскости Γ в проецирующую введена новая плоскость проекций П 4 , перпендикулярная плоскости Γ . Ось новой системы плоскостей проведена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. Полученная проекция А 4 В 4 С 4 является вырожденной проекцией плоскости Γ, т.к. плоскость Γ является проецирующей по отношению к плоскости П 4 .

Для преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня введена новая плоскость проекций П 5 , параллельная плоскости Γ . Ось Х 2 новой системы плоскостей проекций параллельна вырожденной проекции А 4 В 4 С 4 плоскости Γ . При построении новой проекции А 5 В 5 С 5 использованы расстояния от заменяемых проекций А 1 В 1 С 1 до оси Х 1. Так как в новой системе плоскостей проекций плоскость Γ(АВС) является параллельной плоскости П 5 , то на эту плоскость проекций она проецируется в натуральную величину.

Рассмотренные четыре основные задачи лежат в основе решения многих других задач способом замены плоскостей проекций. Рассмотрим примеры решения некоторых задач.

Пример 1. Преобразовать плоскость Γ общего положения, заданную следами, в проецирующую (рис. 9.13).

Плоскость Γ преобразуем во фронтально-проецирующую. Известно, что горизонтальный след фронтально-проецирующей плоскости перпендикулярен оси Х, следовательно новую ось Х 1 проводим перпендикулярно к Γ П1 . Через точку, в которой Γ П1 ∩ Х 1 = Γ Х1 пройдет фронтальный след Γ П4 . Для определения его направления достаточно найти одну точку. В качестве такой точки можно взять произвольную точку 1∈Γ и указать ее фронтальную проекцию 1 4 на новой плоскости П 4. Через Γ Х1 и 1 4 проводим Γ П4 .

Пример 2. Определить расстояние от точки Т до плоскости Σ общего положения, заданной DАВС (рис. 9.14)

Плоскость Σ(АВС) преобразуем в проецирующую, для чего в плоскости построим горизонталь h(h 2 h 1) . Перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали проведем ось Х 1 новой системы плоскостей проекций . Строим новые проекции точек А 4 В 4 С 4 , откладывая расстояния от оси Х 1 , равные расстояниям от заменяемых проекций А 2 В 2 С 2 до оси Х.

Плоскость Σ(АВС) оказалась перпендикулярной плоскости проекций П 4 и спроецировалась на эту плоскость в прямую линию. На плоскость П 4 переносим точку Т(Т 4) и опускаем перпендикуляр на плоскость D (АВС) . Т 4 К 4 ┴ (А 4 В 4 С 4) , где К – основание перпендикуляра. Расстояние от точки Т до плоскости DАВС на плоскости П 4 проецируется без искажения. |Т 4 К 4 |= |ТК|. Возвращаем проекции перпендикуляра на плоскость , для этого из точки Т 1 проводим проекцию перпендикуляра Т 1 К 1 параллельно оси Х 1 и перпендикулярно h 1 . Дальнейшие выполненные построения показаны на рис. 9.14.

Способы преобразования проекций и их

применение к решению задач

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что проецируемый объект остается неподвижным, а одна из плоскостей проекций П 1 , П 2 или П 3 заменяется новой, расположенной так, чтобы проецируемый объект по отношению к новой плоскости занял частное положение. При этом каждая новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна незаменяемой плоскости проекций. Кроме того, на новые плоскости проекций объект проецируется ортогонально. Таким образом, при решении задач способом замены плоскостей проекций необходимо выполнять следующие условия:

Каждая новая система должна представлять собой систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей;

На новые плоскости объект проецируется ортогонально;

Расстояние от точки до незаменяемой плоскости сохраняется.

Рис. 128. Замена плоскостей проекций

Чтобы определить натуральную величину отрезка способом замены плоскостей проекций (рис. 128, 129), необходимо выбрать новую плоскость проекций таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекций отрезок занял положение линии уровня:

1. Зафиксировать положение системы плоскостей П 1 /П 2 с помощью оси x 12 ⊥A 1 A 2 .

2. Определить положение плоскости П 4 с помощью оси x 14 . Чтобы отрезок в системе плоскостей П 1 /П 4 занял положение линии уровня, ось x 14 проводится параллельно горизонтальной проекции отрезка .

3. Ортогонально спроецировать отрезок на плоскость П4. Для этого линии связи проводят перпендикулярно оси x 14 , затем от оси x 14 откладывают расстояние до незаменяемой плоскости – координаты z точек A и B.

Рис. 129. Определение натуральной величины отрезка способом замены плоскостей проекций

Чтобы преобразовать плоскость общего положения в проецирующую, новую плоскость проекций строят перпендикулярно линии уровня этой плоскости.

Рассмотрим преобразование плоскости общего положения α(ABC) во фронтально-проецирующую плоскость (рис. 130). Для решения этой задачи способом замены плоскостей проекций необходимо выполнить замену плоскости П 2 на П 4:

1. Зафиксировать положение системы плоскостей проекций П 1 /П 2 с помощью оси x 12 ⊥A 1 A 2 ;

2. Построить в плоскости α(ABC) фронталь;

3. В соответствии с теоремой о проекциях прямого угла, построить новую ось x 24 ⊥f 1 (C 2 1 2);

4. Ортогонально спроецировать фронталь на плоскость П 4 . Для этого провести линию связи (12,14) перпендикулярно x 24 и отложить от оси x 24 расстояние до незаменяемой плоскости – координату y точек 1 и С. Поскольку y 1 =y c , фронталь в системе плоскостей проекций П 1 /П 4 займет положение горизонтально-проецирующей прямой.

5. Проекция плоскости α(ABC) на П 4 определится фронталью и точкой A. В системе плоскостей проекций П 2 /П 4 плоскость α(ABC) займет горизонтально-проецирующее положение. Проекцию точки B можно построить по координате y b или на пересечении следа плоскости α(ABC) на П 4 с линией связи (B 2 B 4).

Рис. 130. Преобразование плоскости α(ABC) в проецирующее положение

При решении некоторых задач необходимо определить натуральную величину плоских объектов. Любой плоский объект проецируется без искажения на параллельную ему плоскость. Чтобы определить натуральную величину грани призмы способом замены плоскостей проекций, необходимо (рис. 131):

1. Зафиксировать положение системы плоскостей П 1 /П 2 с помощью оси x 12 =A 2 D 2 K 2 ;.

2. Плоскость грани ABCD занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому выполняется замена плоскости П 2 на плоскость П 4 , параллельную грани ABCD. Новую ось x 14 проводят параллельно A 1 B 1 C 1 D 1 .

3. Ортогонально спроецировать все вершины призмы на плоскость П4. Для этого проводят линии связи перпендикулярно оси x 14 , затем от оси x 14 откладывают расстояние до незаменяемой плоскости – координаты z вершин призмы. Координаты z вершин нижнего основания A, D и K равны нулю, следовательно, точки, и лежат на оси x 14 . Координаты z вершин верхнего основания равны (A 2 B 2).

4. В системе плоскостей П 1 /П 4 грань ABCD занимает положение фронтальной плоскости уровня, следовательно, проецируется на П 4 в натуральную величину.

Рис. 131. Преобразование грани в положение плоскости уровня

Этот метод заключается в том, что заданные в пространстве геометрические фигуры не изменяют своего положения, а в системе плоскостей проекций V и H последовательно заменяют одну, две и более плоскостей проекций. При этом вновь введёная плоскость проекций должна быть перпендикулярна остающейся плоскости проекций, а относительно плоских геометрических фигур она должна быть поставлена в такое положение, чтобы эти фигуры были параллельны или перпендикулярны по отношению к ней.

Переход от некоторой системы плоскостей проекций к новой может быть осуществлён по одной из схем:

1. 2.

Схемы показывают, что одновременно меняется только одна плоскость проекций V (или H), другая плоскость H (или V) остаётся неизменной.

1.1 Замена фронтальной плоскости проекций.

Пусть в системе плоскостей дана точка А и указаны её проекции А 1 А 2 .

Проследим как изменится положение проекций точки А, если плоскость V заменить новой плоскостью V 1 (V 1 H).

Плоскость V 1 пересекается с плоскостью Н по прямой x 1 , которая определяет новую ось проекций. Положение горизонтальной проекции А 1 точки А остаётся без изменений, так как точка А и плоскость Н не меняли своего положения в пространстве.

Для нахождения нофой фронтальной проекции точки А - А 4 достаточно спроецировать ортогонально точку А на плоскость V 1 . Расстояние новой фронтальной проекции А 4 точки А от новой оси x 1 равно расстоянию от старой фронтальной проекции А 2 точки А до старой оси х.

|А 4 х 1 |=|А 2 х|=|АА 1 |.

При построении комплексного чертежа новая плоскость проекций V 1 вращением вокруг новой оси х 1 совмещается с остающейся плоскостью Н. Направление вращения не влияет на результат решения задачи. Вращение следует делать так, чтобы новые проекции не накладывались на старые.

1.2 Замена горизонтальной плоскости проекций.

Замена горизонтальной плоскости проекций Н новой плоскостью Н 1 и построение новых проекций точки А в системеосуществляется аналогично рассмотренному случаю. Теперь без изменения остаётся фронтальная проекция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А 4 точки А необходимо из старой фронтальной проекции точки опустить перпендикуляр (провести линию связи) на новую ось х 1 и отложить на нём от точки пересечения с осью х 1 отрезок равный расстоянию старой горизонтальной проекции от старой оси х.

|А 4 х 1 |=|А 1 х|=|АА 2 |.

1.3 Основные задачи замены плоскостей проекций.

Решение всех задач методом замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач:

Первая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

Вторая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая уровня стала проецирующей прямой.

Решим обе задачи совместно:

Решение первой задачи: Пусть задана прямая общего положения отрезком [АВ]. Заменим плоскость V на V 1 (V 1 H)(V 1 )x 1 x 1 x 1 B 2 B x =B x1 B 4 A 2 A x =A x1 A 4 |А 4 B 4 |=|АB|- угол наклона АВ к плоскости Н.

Решение второй задачи: Заменим плоскость Н на Н 1 (Н 1 V 1)(H 1 )x 2 A x2 A 5 =B x2 B 5 =A 1 A x1 =B 1 B x1

Таким преобразованием можно решать задачи об определении истинной величины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций.

Совместное рассмотрение первой и второй задач позволяет решать задачи об определении:

расстояния от точки до прямой

расстояния между двумя параллельными прямыми

расстояния между скрещивающимися прямыми

Третья задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью.

Четвёртая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.

Решим обе задачи совместно:

Решение третьей задачи: Пусть задана плоскость общего положения Р(ABC) Заменим V на V 1 (V 1 H)(V 1 P) x 1 - угол наклона плоскости Р к плоскости Н.

Сущность способа замены плоскостей рассмотрим на примере. На (рис. 5.1). дана точка А в системе плоскостей проекций p 1 / p 2 . Заменим одну из них, например p 2 , другой вертикальной плоскостью p 4 ^ p 1 , т.е. перейдём к новой системе плоскостей проекций p 4 / p 1 . Определим новую фронтальную проекцию точки А 4 , использую для этого неизменность координаты Z точки А , т.к. горизонтальная плоскость проекций p 1 является общей для исходной и новой системы. На эпюре из горизонтальной проекции А 1 проведём линию связи, перпендикулярную к новой оси x 14 и отложим координату Z точки А .

Рис. 5.1. Способ замены плоскостей.

Способом замены плоскостей определяют натуральную величину прямой, плоскости, определяют расстояние между прямыми, плоскостями и т.д. При решении задач приходится менять последовательно либо одну, либо две плоскости проекций так, чтобы геометрические объекты оказались в частном положении относительно новой системы.

Рассмотрим задачи на преобразование прямой и плоскости:

Задача: Дана прямая АВ общего положения (рис. 5.2). Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую.

Рис. 5.2.

Решение: Прямую общего положения возможно преобразовать в проецирующую прямую только двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Т.к. плоскость проекций, перпендикулярная к прямой общего положения, не будет перпендикулярна не к p 1 , не к p 2 . Первоначально заменим плоскость проекций p 2 на p 4 (^ p 1) параллельно прямой АВ , новая ось проекций x 14 || А 1 В 1 . Построим новую фронтальную проекцию А 4 В 4 , отложив неизменную координату Z . Прямая АВ преобразована в новой системе p 1 / p 4 во фронталь, А 4 В 4 – натуральная величина отрезка прямой, а угол a - угол наклона прямой к плоскости проекций p 1 . Затем заменим плоскость проекций p 1 на p 5 (^ p 4) перпендикулярно прямой АВ , новая ось проекций x 45 ^ А 4 В 4 . Построим новую горизонтальную проекцию А 5 В 5 , отложив неизменную координату Y , прямая АВ , Выражается в точку A 5 º B 5 и является горизонтально – проецирующей прямой в новой системе плоскостей p 4 / p 5 .

Задача: Даны две параллельные прямые линии АВ и СD (рис. 5.3). Определить расстояние между ними.

Рис. 5.3.

Решение: Чтобы определить расстояние между параллельными прямыми, необходимо преобразовать их в проецирующие прямые. Этого можно добиться двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Первая замена плоскости проекций p 1 на p 5 параллельно данным прямым, новая ось проекций Х 25 || С 2 D 2 || А 2 В 2 . Прямые АВ и СD преобразованы в новой системе плоскостей проекций p 2 / p 5 в горизонтали. Вторая замена плоскости проекций p 2 на p 4 перпендикулярно прямым АВ и СD , новая ось проекций x 45 ^ С 5 D 5 ^ (А 5 В 5) На новую горизонтальную плоскость p 5 прямые АВ и СD проецируются в точки A 5 º B 5 , C 5 º D 5 . Измеряем расстояние между точками.

Задача: Дана плоскость, треугольник АВС общего положения (рис. 5.4). Определить натуральную величину треугольника АВС .

Рис. 5.4.

Решение: Чтобы определить натуральную величину плоскости, необходимо расположить её параллельно плоскости проекций. Плоскость общего положения невозможно сразу преобразовать в плоскость уровня, т.к. параллельная ей новая плоскость проекций не будет перпендикулярна ни к p 1 , ни к p 2 . Поэтому, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций, преобразовав данную плоскость сначала в проецирующую, а затем в плоскость уровня.

Заменим плоскость проекций p 2 на p 4 перпендикулярно треугольнику АВС . Чтобы определить направление p 4 , проведём в треугольнике АВС горизонталь h . Новая плоскость проекций p 4 будет перпендикулярна горизонтали, новая ось проекций x 14 ^ h 1 . На линии связи откладываем неизменные координаты Z A , Z B , Z C . Новая фронтальная проекция A 4 B 4 C 4 в системе плоскостей p 1 /p 2 представляет собой прямую линию, плоскость (АВС ) преобразована во фронтально проецирующую.

Затем заменим плоскость проекций p 1 на плоскость p 5 параллельно треугольнику АВС , новая ось проекций x 45 || А 4 В 4 С 4 , неизменной остаётся координата Y . В новой системе плоскостей p 4 / p 5 треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня. Новая горизонтальная проекция А 5 В 5 С 5 – натуральная величина треугольника АВС .

Способ вращения

Суть способа вращения состоит в том, что геометрический объект вращают в пространстве вокруг выбранной оси i до требуемого положения относительно плоскостей проекций. Траектории движения точек объекта являются дугами окружностей, центр которых находится на оси вращения.