Типові динамічні ланки систем автоматичного керування. Типові динамічні ланки. Розрахунки з мінімуму помилки

Пропорційне(статичне , безінерційне ) ланка . Це найпростіше ланка, вихідний сигналякого прямо пропорційний вхідного сигналу:

де Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівним- Коефіцієнт пропорційності або передачі ланки.

Прикладами такої ланки є: а) клапани з лінеаризованимихарактеристиками (коли зміна витрати рідинипропорційно до ступеня зміни положення штока) у розглянутих вище прикладах систем регулювання; б) дільник напруги; в) важільна передача та ін.

Переходячи в (3.1) до зображень, маємо:

1. Передатна функція: .

2. Перехідна характеристика: , отже .

3. Імпульсна перехідна характеристика: .

4. КЧХ: .

6. ФЧХ: .

Прийнятий опис зв'язку між входомі виходомсправедливо тільки для ідеальної ланкиі відповідає реальним ланкамлише за низьких частотах, . При реальних ланках коефіцієнт передачі Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівнимпочинає залежати від частоти і при високих частотахпадає до нуля.

Запізнювальна ланка. Ця ланка описується рівнянням

де – час запізнення.

прикладом запізнювальної ланкислужать: а) довгі електричні лінії без втрат; б) довгий трубопровід та ін.

Передатна функція, перехідната імпульсна перехідна характеристика, КЧХ, а також АЧХ та ФЧХ цієї ланки:

2. , Отже: .

На рис.3.1 зображено: а) годограф КЧХ запізнювальної ланки; б) АЧХ і ФЧХ запізнювальної ланки. Зауважимо, що при збільшенні кінець вектора описує за годинниковою стрілкою кут, що все зростає.

Рис.3.1. Годограф (а) і АЧХ, ФЧХ (б) ланки, що запізнюється.

Інтегруюча ланка. Ця ланка описується рівнянням

де - Коефіцієнт передачі ланки.

Прикладами реальних елементів, еквівалентні схеми яких зводяться до інтегруючою ланкою, є: а) електричний конденсатор, якщо рахувати вхідним сигналомструм, а вихідним- Напруга на конденсаторі: ; б) вал, що обертається, якщо вважати вхідним сигналомкутову швидкість обертання, а вихідним – кут повороту валу: ; і т.д.

Визначимо характеристики цієї ланки:

2. .

Скористаємось таблицею перетворення Лапласа 3.1, отримуємо:

.

Помножуємо на функцію при .

3. .

4. .

На рис.3.2 показано: а) годограф КЧХ інтегруючої ланки; б) АЧХ та ФЧХ ланки; в) перехідна характеристика ланки.

Рис.3.2. Годограф (а), АЧХ та ФЧХ (б), перехідна характеристика (в) інтегруючої ланки.

Диференціююча ланка. Ця ланка описується рівнянням

де - Коефіцієнт передачі ланки.

Знайдемо характеристики ланки:

2. , З огляду на, що , знаходимо: .

3. .

4. .

На рис.3.3 показано: а) годограф ланки; б) АЧХ та ФЧХ ланки.

а) б)

Мал. 3.3. Годограф (а), АЧХ та ФЧХ (б) диференційної ланки.

прикладом диференціюючої ланкиє ідеальний конденсаторі індуктивність. Це випливає з того, що напруга uта струм iпов'язані для конденсатора Зта індуктивності а)відповідно наступними співвідношеннями:

Відмітимо, що реальна ємністьмає невеликий ємнісною індуктивністю, реальна індуктивністьмає міжвиткову ємність(які особливо сильно виявляються на більших частотах), що наводить зазначені вище формули до наступного виду:

, .

Таким чином, диференціююча ланкане може бути технічно реалізовано, так як порядокправої частини його рівняння (3.4) більше за порядок лівої частини. А нам відомо, що має виконуватися умова n > mабо, у крайньому випадку, n = m.

Однак можна наблизитись до цього рівняння даного ланкивикористовуючи інерційно-диференціююча(реальне диференціююче)ланка.

Інерційно-диференціююче(реальне диференціююче ) ланка описується рівнянням:

де Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівним- Коефіцієнт передачі ланки, Т- Постійна часу.

Передатна функція, перехіднаі імпульсна перехідна характеристики, КЧХ, АЧХ та ФЧХ цієї ланки визначаються формулами:

Використовуємо властивість перетворення Лапласа – зміщення зображення(3.20), згідно з яким: якщо , то .

Звідси: .

3. .

5. .

6. .

На рис.3.4 наведено: а) графік КЧХ; б) АЧХ та ФЧХ ланки.

а) б)

Рис.3.4. Годограф (а), АЧХ і ФЧХ реальної ланки, що диференціює.

Для того, щоб властивості реальної диференційної ланкинаближалися до властивостей ідеальногонеобхідно одночасно збільшувати коефіцієнт передачі Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівнимта зменшувати постійну часу Ттак, щоб їхній твір залишався постійним:

kT= Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівнимд,

де Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівнимд - коефіцієнт передачі диференціює ланки.

Звідси видно, що розмірність коефіцієнта передачі Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівнимд диференціюючої ланкивходить час.

Інерційна ланка першого порядку(аперіодична ланка ) одне з найпоширеніших ланокСАУ. Воно описується рівнянням:

де Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівним- Коефіцієнт передачі ланки, Т- Постійна часу.

Характеристики цієї ланки визначаються формулами:

2. .

Користуючись властивостями інтегрування оригіналуі зміщенням зображеннямаємо:

.

3. , т.к. при , то по всій тимчасової осі дана функція дорівнює 0 ( при ).

5. .

6. .

На рис.3.5 показано: а) графік КЧХ; б) АЧХ та ФЧХ ланки.

Рис.3.5. Годограф (а), АЧХ та ФЧХ інерційної ланки першого порядку.

Інтегро-диференціююча ланка. Ця ланка описується диференціальним рівнянням першого порядку у найбільш загальному вигляді:

де Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівним- Коефіцієнт передачі ланки, Т 1і Т 2- Постійні часу.

Введемо позначення:

Залежно від значення hланка матиме різні властивості. Якщо то ланказа своїми властивостями наближатиметься до інтегруючомуі інерційномуланкам. Якщо , то це ланказа властивостями буде ближче до диференційуючомуі інерційно-диференційуючому.

Визначимо характеристики інтегродиференційної ланки:

1. .

2. , звідси випливає:

Т.к. при h® 0, то:

.

6. .

На рис.3.6. наведено: а) графік КЧХ; б) АЧХ; в) ФЧХ; г) перехідна характеристика ланки.

а) б)

в) г)

Рис.3.6. Годограф (а), АЧХ (б), ФЧХ (в), перехідна характеристика (г) інтегродиференціює ланки.

Інерційна ланка другого порядку. Ця ланка описується диференціальним рівнянням другого порядку:

де (капа) – постійне згасання; Т- Постійна часу, Перехідна характеристика є прямою, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом нахилу, рівним- Коефіцієнт передачі ланки.

Реакція системи, що описується рівнянням (3.8), на одиничний ступінчастий вплив є загасаючі гармонічні коливання, у цьому випадку ланка ще називається коливальним . При коливаннях не виникнуть, і ланка, що описується рівнянням (3.8) називається аперіодичною ланкою другого порядку . Якщо , то коливання будуть незагасаючимиз частотою.

Прикладом конструктивного виконання цього ланкиможуть бути: а) електричний коливальний контур, що містить ємність, індуктивністьта омічне опір; б) маса, підвішена на пружиніі має демпфуючий пристрій, і т.д.

Визначимо характеристики інерційної ланки другого порядку:

1. .

2. .

Коріння характеристичного рівняння, що стоїть у знаменнику, визначаються:

.

Очевидно, що тут можливі три випадки:

1) при корені характеристичного рівняння негативні речові різніі тоді перехідна характеристика визначається:

;

2) при корені характеристичного рівняння негативні речові однакові :

3) при корені характеристичного рівняння ланки є комплексно-пов'язаними , причому

перехідна характеристика визначається формулою:

,

тобто, як зазначалося вище, вона набуває коливальний характер.

3. Також маємо три випадки:

1) ,

т.к. при;

2), т.к. при;

3) , т.к. при .

5. .

Динаміка більшості функціональних елементів САУ незалежно від виконання може бути описана однаковими формою диференціальними рівняннями не більше другого порядку. Такі елементи називають елементарними динамічними ланками. Передаточна функція елементарної ланки в загальному вигляді задається ставленням двох поліномів не більш як другого ступеня:

Відомо також, що будь-який поліном довільного порядку можна розкласти на прості співмножники трохи більше, ніж другого порядку. Так за теоремою Вієта модно записати

D(p) = a o p n + a 1 p n - 1 + a 2 p n - 2+. + a n = a o (p – p 1) (p – p 2). (p - p n), (4)

де p 1 p2,., p n - корені полінома D (p). Аналогічно

K(p) = b o pm + b 1 p m - 1+. + bm = b o (p - p ~ 1) (p - p ~ 2). (p - p ~ m), (5)

де p ~ 1, p ~ 2,., p ~ m - корені полінома K(p). Тобто

Коріння будь-якого полінома може бути або речовим p i = a i , або комплексним попарно пов'язаним p i = a i ± j i . Будь-якому речовому кореню при розкладанні полінома відповідає співмножник (p - a i). Будь-яка пара комплексно пов'язаного коріння відповідає поліному другого ступеня, оскільки

(p - a i + j i) (p - a i - j i) = (p - ai) 2 + i 2 = p 2 - 2pa i + (a i 2 + i 2). (7)

Тому будь-яку складну передатну функцію лінеаризованої САУ можна як добуток передавальних функцій елементарних ланок. Кожній такій ланці в реальній САУ, як правило, відповідає якийсь окремий вузол. Знаючи властивості окремих ланок можна будувати висновки про динаміки САУ загалом.

Теоретично зручно обмежитися розглядом типових ланок, передавальні функції яких мають чисельник чи знаменник, рівний одиниці, тобто

W (p) = 1/p, W (p) = p, W (p) = Tp+ 1, W (p) = k (9) (11)

З них можуть бути утворені всі інші ланки. Ланки, у яких порядок полінома чисельника більший за порядок полінома знаменника, технічно нереалізовані.

Структурна схема САУ у найпростішому випадку будується з елементарних динамічних ланок. Але кілька елементарних ланок можуть бути замінені однією ланкою зі складною функцією передавання. І тому існують правила еквівалентного перетворення структурних схем. Розглянемо можливі способи перетворень:

1) Послідовне з'єднання - вихідна величина попередньої ланки подається на вхід наступного

Малюнок 4.1 - Послідовне з'єднання ланок

2) Паралельно - згодне з'єднання - на вхід кожної ланки подається той самий сигнал, а вихідні сигнали складаються. Тоді:

y = y1 + y2 +. + yn = (W1 + W2 +. + W3) yo = Wекв yo, (12)

Малюнок 4.2 - Паралельно-згідне з'єднання ланок

3) Паралельно - зустрічне з'єднання - ланка охоплена позитивним чи негативним зворотним зв'язком. Ділянка ланцюга, яким сигнал йде у протилежному напрямі стосовно системі загалом (тобто з виходу вхід) називається ланцюгом зворотний зв'язок з передавальною функцією W ос. При цьому для негативної ОС:

y = W п u; y 1 = W ос y; u = y o - y 1 , (13)

W екв = W п/(1±W п). (14)

Малюнок 4.3 - Паралельно-зустрічне з'єднання ланок

Замкнуту систему називають одноконтурною, якщо при її розмиканні в якійсь точці отримують ланцюжок із послідовно з'єднаних елементів. Ділянка ланцюга, що складається з послідовно з'єднаних ланок, що з'єднує точку застосування вхідного сигналу з точкою знімання вихідного сигналу називається прямим ланцюгом. Ланцюг із послідовно з'єднаних ланок, що входять у замкнутий контур називають розімкнутим ланцюгом. Виходячи з наведених вище способів еквівалентного перетворення структурних схем, одноконтурна система може бути представлена ​​однією ланкою з передатною функцією: Wекв = Wп/(1 ± Wp) - передаточна функція одноконтурної замкнутої системи з негативною ОС дорівнює передавальної функції прямого ланцюга, функція розімкнутого ланцюга. Для позитивної ОС знаменнику знак мінус. Якщо змінити точку зняття вихідного сигналу, змінюється вигляд прямого ланцюга. Так, якщо вважати вихідним сигнал y1 на виході ланки W1, Wp = Wo W1. Вираз для передавальної функції розімкнутого ланцюга не залежить від точки зняття вихідного сигналу. Замкнуті системи бувають одноконтурними та багатоконтурними. Щоб знайти еквівалентну передатну функцію для даної схеми, потрібно спочатку здійснити перетворення окремих ділянок.

Типові ланки САУ та їх характеристики

Типові динамічні ланки

Типовою динамічною ланкоюСАУ є складовою частиною системи, яка описується диференціальним рівнянням не вище другого порядку. Ланка, як правило, має один вхід та один вихід. За динамічними властивостями типові ланки поділяються на такі різновиди: позиційні, диференціюючі та інтегруючі.
Позиційними ланкамиє такі ланки, які у встановленому режимі спостерігається лінійна залежність між вхідними і вихідними сигналами. При постійному рівні вхідного сигналу сигнал виході також прагне постійного значення.
Диференціюючимиє такі ланки, які у встановленому режимі вихідний сигнал пропорційний похідної за часом від вхідного сигналу.
Інтегруючимиє такі ланки, які мають вихідний сигнал пропорційний інтегралу за часом від вхідного сигналу.
Ланка вважається заданою і певною, якщо відома його передатна функція або диференціальне рівняння. Крім того, ланки мають часові та частотні характеристики.
Наявність нульових коренів у чисельнику чи знаменнику ПФ типових ланок - це ознака для розбиття останніх на три групи:

Позиційні ланки: 1, 2, 3, 4, 5, - немає нульових коренів, і, отже, у сфері низьких частот (тобто. у встановленому режимі), мають коефіцієнт передачі рівний k.
Інтегруючі ланки: 6, 7, 8 - мають нульовий корінь-полюс, і, отже, в області низьких частот, мають коефіцієнт передачі, що прагне до нескінченності.
Диференціюючі ланки: 9, 10 - мають нульовий корінь-нуль, і, отже, в області низьких частот, мають коефіцієнт передачі, що прагне нуля.

Залежно від величини самовирівнювання розрізняють три типи об'єктів управління: стійкий (з позитивним самовирівнюванням); нейтральний (з нульовим самовирівнюванням); нестійкий (з негативним самовирівнюванням). Ознакою негативного самовирівнювання є негативний знак перед вихідною величиною в лівій частині диференціального рівняння або поява негативного знака у вільного члена знаменника передавальної функції (наявність позитивного полюса).

Під законом регулювання(Управління) розуміється алгоритм або функціональна залежність, що визначає керуючий вплив u(t) на об'єкт:
u(t) = F(Δ) , де - помилка регулювання.
Закони регулювання бувають:
- Лінійні:
або (3.1)
- Нелінійні: .
Крім того, закони регулювання можуть бути реалізовані в безперервному вигляді або цифровому. Цифрові закони регулювання реалізуються шляхом побудови регуляторів за допомогою засобів обчислювальної техніки (мікро ЕОМ чи мікропроцесорних систем).
Наявність у (3.1) чутливості регулятора до пропорційної, до інтегральних або диференціальних складових первинної інформації x(t), визначає тип регулятора:
1. P- пропорційний;
2. I- Інтегральний;
3. PI- пропорційно інтегральний (ізодромний);
4. PD- Пропорційно диференціальний;
5. і складніші варіанти - PID, PIID, PIDD, ...
Нелінійні закони регулювання поділяються на:
1. функціональні;
2. логічні;
3. оптимізують;
4. параметричні.
У складі структури САУ міститься керуючий пристрій, який називається регулятором і виконує основні функції управління шляхом вироблення керуючого впливу U в залежності від помилки (відхилення), тобто. U = f(?). Закон регулювання визначає вид цієї залежності без урахування інерційності елементів регулятора. Закон регулювання визначає основні якісні та кількісні характеристики систем.

Найважливішою характеристикою САР та її складових елементів є перехідні та імпульсні перехідні (імпульсні) функції.
Аналітичне визначення перехідних функцій та характеристик ґрунтується на наступних положеннях. Якщо задана передатна функція системи або окремої ланки W(р) і відомий вхідний сигнал X(t), вихідний сигнал Y(t) визначається наступним співвідношенням:

Таким чином, зображення вихідного сигналу є твір передавальної функції зображення вхідного сигналу . Сигнал y(t) у явному вигляді отримав після переходу від зображення до оригіналу y(t). Для більшості випадків лінійних систем та складових елементів розроблені таблиці, що дозволяють здійснювати перехід від зображень до оригіналу та назад. У цьому розділі представлено таблицю 3.1 переходів для найпоширеніших випадків.
Оскільки зображення одиничного ступінчастого впливу дорівнює 1/p, зображення перехідної функції визначається співвідношенням:

Отже, для перехідної функції необхідно передатну функцію розділити на p і виконувати перехід від зображення до оригіналу.
Зображення одиничного імпульсу дорівнює 1. Тоді зображення імпульсної функції визначається виразом:

Таким чином, передавальна функція є зображенням імпульсної функції.
Імпульсна та перехідна функції, як і передатна функція, є вичерпними характеристиками системи за нульових початкових умов. За ними можна визначити вихідний сигнал за довільних вхідних впливів.

Таблиця 3.1

Зображення по Лапласу та оригінали

Зображення	Оригінал f(t)

Передавальні функції та тимчасові характеристики типових ланок наведено у таблиці 3.2.

Таблиця 3.2

Тимчасові характеристики типових ланок

Тип ланки	Передавальні функції	Тимчасові функції
Позиційні ланки
Підсилювальне
Аперіодичне 1-го порядку
Аперіодичне 2-го порядку T 1 ≥2T 2
Коливальне 0<ξ<1
Консервативне
Інтегруючі ланки
Інтегруюче ідеальне
Інтегруюче інерційне
Ізодромне 1-го порядку
Ізодромне 2-го порядку
Диференціюючі ланки
Ідеальне диференціююче
Диференціююча інерційна
Форсуюче 1-го порядку
	6.4. Частотні характеристики ланок САУ

У разі реальної експлуатації САУ часто виникає необхідність визначити реакцію на періодичні сигнали, тобто. визначити сигнал на виході САУ, якщо на один із входів періодично подається сигнал гармонійної форми. Вирішення цієї задачі можливо отримати шляхом використання частотних характеристик. Частотні характеристики можуть бути отримані експериментальним чи аналітичним шляхом. При аналітичному визначенні вихідним моментом є одна з передатних функцій САУ (з управління або збурювання). Можливе також визначення частотних характеристик виходячи з передавальних функцій розімкнутої системи та передавальної функції помилково.
Якщо задана передатна функція W(р), то шляхом підставки p=jω отримуємо частотну передатну функцію W(jω), яка є комплексним виразом тобто. W(jω)=U(ω)+jV(ω), де U(ω) - речовинна складова, а V(ω) - уявна складова. Частотна передатна функція може бути представлена ​​у показовій формі:

W(jω)=A(ω)e jφ(ω) (3.2)

Де - модуль; - аргумент частотної передавальної функції.

Функція A(ω), представлена ​​при зміні частоти від 0 до отримало назву амплітудної частотної характеристики (АЧХ).
Функція Φ(ω), представлена ​​за зміни частоти від 0 до називається фазової частотної характеристикою (ФЧХ).
Таким чином, диференціальне рівняння руху системи пов'язує вхідний та вихідний сигнали (тобто функції часу), ПФ зв'язує зображення Лапласа тих самих сигналів, а частотна ПФ пов'язує їх спектри.
Частотна передатна функція W(jω) може бути представлена ​​комплексної площині. Графічне відображення для всіх частот спектра відносин вихідного сигналу САУ до вхідного, представлених у комплексній формі, буде амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ) або годографом Найквіста. Величина відрізка від початку координат до кожної точки годографа показує скільки разів на даній частоті вихідний сигнал більше вхідного - АЧХ, а зсув фази між сигналами визначається кутом до згаданого відрізка - ФЧХ. При цьому негативний фазовий зсув представляється обертанням вектора на комплексній площині за годинниковою стрілкою відносно позитивної речової осі, а позитивний фазовий зсув представляється обертанням проти годинникової стрілки.
Для спрощення графічного представлення частотних характеристик, а також для полегшення аналізу процесів у частотних областях використовуються логарифмічні частотні характеристики: логарифмічна амплітудна частотна характеристика (л.а.ч.х.) та логарифмічна фазова частотна характеристика (л.ф.ч.х.) . При побудові логарифмічних характеристик на шкалі частот замість відкладається lg(ω) і одиницею вимірювання є декада. Декадою називається інтервал частот, що відповідає зміні частоти у 10 разів. При побудов л.а.ч.х. на осі ординат одиницею вимірювання є децибел [дБ], який є співвідношенням L=20 lg А(ω). Один децибел є збільшення амплітуди виходу в раз. Верхня напівплощина л.а.г. відповідає значенням А>1 (посилення амплітуди), а нижня напівплощина - значенням А<1 (ослабление амплитуды). Точка пересечения л.а.х. с осью абсцисс соответствует частоті зрізу ω ср, При якій амплітуда вихідного сигналу дорівнює вхідний.
Для л.ф.ч.г. на осі частот використовується логарифмічний масштаб, а кутів - натуральний масштаб. Насправді логарифмічні частотні характеристики будуються на суміщеній системі координат, які представлені на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Схема координат для логарифмічних характеристик

Головною перевагою логарифмічних частотних показників є можливість побудови в багатьох випадках майже без обчислювальної роботи, тобто. будувати асимптотичні л.ч.х.
(3.3)
тобто. передавальну функцію будь-якої САУ в загальному випадку можна подати як добуток передавальних функцій наступного виду:
- де: K r , r, T, ξ, - постійні величини, причому K r >0, r>0, T>0, 0<ξ<1.
У цьому випадку побудова л.а.г. проводиться за виразом

Побудова л.ф.г. проводиться за виразом
Таким чином, результуюча л.а.г. визначається підсумовуванням л.а.г. складових типових ланок, а результуюча Л.Ф.Х. - відповідно до підсумовування л.ф.х. складових типових ланок.