Exponenciação, regras, exemplos. Mais sobre graus e exponenciação Elevando-se a uma potência irracional

Quando o número se multiplica para mim mesmo, trabalhar chamado grau.

Então 2,2 = 4, quadrado ou segunda potência de 2
2.2.2 = 8, cubo ou terceira potência.
2.2.2.2 = 16, quarto grau.

Além disso, 10,10 = 100, a segunda potência de 10.
10.10.10 = 1000, terceira potência.
10.10.10.10 = 10.000 quarta potência.

E a.a = aa, segunda potência de a
a.a.a = aaa, terceira potência de a
a.a.a.a = aaaa, quarta potência de a

O número original é chamado raiz potências deste número porque é o número a partir do qual as potências foram criadas.

Contudo, não é totalmente conveniente, especialmente no caso de altos poderes, anotar todos os fatores que compõem os poderes. Portanto, um método de notação abreviada é usado. A raiz do grau é escrita apenas uma vez, e à direita e um pouco mais acima perto dela, mas em fonte um pouco menor, está escrito quantas vezes a raiz atua como um fator. Este número ou letra é chamado expoente ou grau números. Portanto, a 2 é igual a a.a ou aa, porque a raiz a deve ser multiplicada por si mesma duas vezes para obter a potência aa. Além disso, a 3 significa aaa, ou seja, aqui a é repetido três vezes como multiplicador.

O expoente do primeiro grau é 1, mas geralmente não é anotado. Então, um 1 é escrito como a.

Você não deve confundir graus com coeficientes. O coeficiente mostra com que frequência o valor é considerado Papel o todo. A potência mostra quantas vezes uma quantidade é tomada como fator no trabalho.
Então, 4a = a + a + a + a. Mas a 4 = a.a.a.a

O esquema de notação de potência tem a vantagem peculiar de nos permitir expressar desconhecido grau. Para este propósito, o expoente é escrito em vez de um número carta. No processo de resolução de um problema, podemos obter uma quantidade que sabemos ser alguns grau de outra grandeza. Mas até agora não sabemos se é um quadrado, um cubo ou outro grau superior. Então, na expressão a x, o expoente significa que esta expressão tem alguns grau, embora indefinido qual grau. Portanto, b m e d n são elevados às potências de m e n. Quando o expoente é encontrado, númeroé substituído em vez de uma letra. Então, se m=3, então b m = b 3 ; mas se m = 5, então b m =b 5.

O método de escrever valores usando potências também é uma grande vantagem ao usar expressões. Assim, (a + b + d) 3 é (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), ou seja, o cubo do trinômio (a + b + d) . Mas se escrevermos esta expressão depois de elevá-la a um cubo, ela ficará assim
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Se tomarmos uma série de potências cujos expoentes aumentam ou diminuem de 1, descobrimos que o produto aumenta de multiplicador comum ou diminui em divisor comum, e esse fator ou divisor é o número original elevado a uma potência.

Então, na série aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ou 5, 4, 3, 2, 1;
os indicadores, se contados da direita para a esquerda, são 1, 2, 3, 4, 5; e a diferença entre seus valores é 1. Se começarmos na direita multiplicar por a, obteremos vários valores com sucesso.

Então a.a = a 2 , segundo termo. E um 3 .a = um 4
a 2 .a = a 3 , terceiro termo. a 4 .a = a 5 .

Se começarmos esquerda dividir para um,
obtemos a 5:a = a 4 e a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Mas este processo de divisão pode continuar e obteremos um novo conjunto de valores.

Então, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

A linha completa seria: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ou um 5, um 4, um 3, um 2, um, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Aqui estão os valores na direita de um há reverter valores à esquerda de um. Portanto, esses graus podem ser chamados potências inversas a. Também podemos dizer que as potências da esquerda são inversas das potências da direita.

Então, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. E 1:(1/a 3) = a 3.

O mesmo plano de gravação pode ser aplicado a polinômios. Então, para a + b, obtemos o conjunto,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Por conveniência, outra forma de escrever potências recíprocas é usada.

De acordo com esta forma, 1/a ou 1/a 1 = a -1. E 1/aaa ou 1/a 3 = a -3 .
1/aa ou 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ou 1/a 4 = a -4 .

E para fazer uma série completa com 1 como diferença total com expoentes, a/a ou 1 é considerado algo que não tem grau e é escrito como 0 .

Então, levando em conta as potências direta e inversa
em vez de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
você pode escrever 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4.
Ou +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

E uma série apenas de graus individuais será semelhante a:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

A raiz de um grau pode ser expressa por mais de uma letra.

Assim, aa.aa ou (aa) 2 é a segunda potência de aa.
E aa.aa.aa ou (aa) 3 é a terceira potência de aa.

Todas as potências do número 1 são iguais: 1.1 ou 1.1.1. será igual a 1.

Exponenciação é encontrar o valor de qualquer número multiplicando esse número por ele mesmo. Regra para exponenciação:

Multiplique a quantidade por ela mesma quantas vezes for indicada na potência do número.

Esta regra é comum a todos os exemplos que possam surgir durante o processo de exponenciação. Mas é correcto dar uma explicação de como isso se aplica a casos particulares.

Se apenas um termo for elevado a uma potência, ele será multiplicado por si mesmo quantas vezes for indicado pelo expoente.

A quarta potência de a é 4 ou aaaa. (Art. 195.)
A sexta potência de y é y 6 ou yyyyyy.
A enésima potência de x é x n ou xxx..... n vezes repetida.

Se for necessário elevar uma expressão de vários termos a uma potência, o princípio de que a potência do produto de vários fatores é igual ao produto desses fatores elevado a uma potência.

Então (sim) 2 =a 2 y 2 ; (ai) 2 = sim.ai.
Mas ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Então, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Portanto, ao encontrar a potência de um produto, podemos operar com o produto inteiro de uma vez, ou podemos operar com cada fator separadamente, e então multiplicar seus valores pelas potências.

Exemplo 1. A quarta potência de dhy é (dhy) 4, ou d 4 h 4 y 4.

Exemplo 2. A terceira potência é 4b, existe (4b) 3, ou 4 3 b 3, ou 64b 3.

Exemplo 3. A enésima potência de 6ad é (6ad) n ou 6 n e n.

Exemplo 4. A terceira potência de 3m.2y é (3m.2y) 3, ou 27m 3 .8y 3.

O grau de um binômio, composto por termos conectados por + e -, é calculado multiplicando seus termos. Sim,

(a + b) 1 = a + b, primeiro grau.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, segunda potência (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, terceira potência.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, quarta potência.

O quadrado de a - b é a 2 - 2ab + b 2.

O quadrado de a + b + h é a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Exercício 1. Encontre o cubo a + 2d + 3

Exercício 2. Encontre a quarta potência de b + 2.

Exercício 3. Encontre a quinta potência de x + 1.

Exercício 4. Encontre a sexta potência 1 - b.

Soma de quadrados valores E diferenças binômios ocorrem com tanta frequência na álgebra que é necessário conhecê-los muito bem.

Se multiplicarmos a + h por si mesmo ou a - h por si só,
obtemos: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 também, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Isto mostra que em cada caso, o primeiro e o último termos são os quadrados de a e h, e o termo do meio é duas vezes o produto de a e h. A partir daqui, o quadrado da soma e da diferença dos binômios pode ser encontrado usando a seguinte regra.

O quadrado de um binômio, cujos dois termos são positivos, é igual ao quadrado do primeiro termo + duas vezes o produto de ambos os termos + o quadrado do último termo.

Quadrado diferenças binômios é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto de ambos os termos mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo 1. Quadrado 2a + b, há 4a 2 + 4ab + b 2.

Exemplo 2. Quadrado ab + cd, há 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Exemplo 3. Quadrado 3d - h, há 9d 2 + 6dh + h 2.

Exemplo 4. O quadrado a - 1 é 2 - 2a + 1.

Para obter um método para encontrar potências superiores de binômios, consulte as seções a seguir.

Em muitos casos é eficaz anotar graus sem multiplicação.

Portanto, o quadrado de a + b é (a + b) 2.
A enésima potência de bc + 8 + x é (bc + 8 + x) n

Nesses casos, os parênteses cobrem Todos membros em graduação.

Mas se a raiz do grau consiste em vários multiplicadores, os parênteses podem cobrir toda a expressão ou podem ser aplicados separadamente aos fatores dependendo da conveniência.

Assim, o quadrado (a + b)(c + d) é [(a + b).(c + d)] 2 ou (a + b) 2 .(c + d) 2.

Para a primeira destas expressões, o resultado é o quadrado do produto de dois fatores, e para a segunda, o resultado é o produto dos seus quadrados. Mas eles são iguais entre si.

O cubo a.(b + d), é 3, ou a 3.(b + d) 3.

A sinalização na frente dos associados envolvidos também deve ser levada em consideração. É muito importante lembrar que quando a raiz de um grau é positiva, todas as suas potências positivas também são positivas. Mas quando a raiz é negativa, os valores com chance potências são negativas, enquanto os valores até graus são positivos.

O segundo grau (- a) é +a 2
O terceiro grau (-a) é -a 3
A quarta potência (-a) é +a 4
A quinta potência (-a) é -a 5

Daí qualquer chance o grau tem o mesmo sinal que o número. Mas até o grau é positivo independentemente de o número ter sinal negativo ou positivo.
Então, +a.+a = +a 2
E -a.-a = +a 2

Uma quantidade que já foi elevada a uma potência é elevada novamente a uma potência multiplicando os expoentes.

A terceira potência de 2 é 2,3 = 6.

Para a 2 = aa; cubo aa é aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; que é a sexta potência de a, mas a terceira potência de a 2.

A quarta potência de a 3 b 2 é a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A terceira potência de 4a 2 x é 64a 6 x 3.

A quinta potência de (a + b) 2 é (a + b) 10.

A enésima potência de 3 é 3n

A enésima potência de (x - y) m é (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2h 4) 3 = a 9 b 6h 12

A regra se aplica igualmente a negativo graus.

Exemplo 1. A terceira potência de a -2 é a -3,3 =a -6.

Para a -2 = 1/aa, e a terceira potência deste
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaa = 1/a 6 = a -6

A quarta potência de a 2 b -3 é 8 b -12 ou 8 /b 12.

O quadrado é b 3 x -1, existe b 6 x -2.

A enésima potência de ax -m é x -mn ou 1/x.

Contudo, devemos lembrar aqui que se o sinal anterior grau for "-", então deverá ser alterado para "+" sempre que o grau for um número par.

Exemplo 1. O quadrado -a 3 é +a 6. O quadrado de -a 3 é -a 3 .-a 3, que, de acordo com as regras de sinais na multiplicação, é +a 6.

2. Mas o cubo -a 3 é -a 9. Para -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. A enésima potência -a 3 é 3n.

Aqui o resultado pode ser positivo ou negativo dependendo se n é par ou ímpar.

Se fraçãoé elevado a uma potência, então o numerador e o denominador são elevados a uma potência.

O quadrado de a/b é a 2 /b 2 . De acordo com a regra de multiplicação de frações,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

A segunda, terceira e enésima potências de 1/a são 1/a 2, 1/a 3 e 1/a n.

Exemplos binômios, em que um dos termos é uma fração.

1. Encontre o quadrado de x + 1/2 e x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. O quadrado de a + 2/3 é 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Quadrado x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 O quadrado de x - b/m é x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Anteriormente foi mostrado que coeficiente fracionário pode ser movido do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador. Usando o esquema para escrever poderes recíprocos, fica claro que qualquer multiplicador também pode ser movido, se o sinal do grau for alterado.

Assim, na fração ax -2 /y, podemos mover x do numerador para o denominador.
Então ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Na fração a/por 3, podemos mover y do denominador para o numerador.
Então a/por 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Da mesma forma, podemos mover um fator que tem um expoente positivo para o numerador ou um fator com um expoente negativo para o denominador.

Então, machado 3 /b = a/bx -3. Para x 3 o inverso é x -3 , que é x 3 = 1/x -3 .

Portanto, o denominador de qualquer fração pode ser totalmente removido, ou o numerador pode ser reduzido a um, sem alterar o significado da expressão.

Então, a/b = 1/ba -1 ou ab -1 .

Tabela de potências de números de 1 a 10. Calculadora de potências online. Tabela interativa e imagens da tabela de graus em alta qualidade.

Calculadora de graus

Número

Grau

Calcular Claro

\begin(alinhar) \end(alinhar)

Com esta calculadora você pode calcular a potência de qualquer número natural online. Digite o número, grau e clique no botão “calcular”.

Tabela de graus de 1 a 10

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1n	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3n	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4n	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5n	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6n	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7n	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8 n	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9n	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10h	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

Tabela de graus de 1 a 10

1 1 = 1 1 2 = 1 1 3 = 1 1 4 = 1 1 5 = 1 1 6 = 1 1 7 = 1 1 8 = 1 1 9 = 1 1 10 = 1	2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128 2 8 = 256 2 9 = 512 2 10 = 1024	3 1 = 3 3 2 = 9 3 3 = 27 3 4 = 81 3 5 = 243 3 6 = 729 3 7 = 2187 3 8 = 6561 3 9 = 19683 3 10 = 59049	4 1 = 4 4 2 = 16 4 3 = 64 4 4 = 256 4 5 = 1024 4 6 = 4096 4 7 = 16384 4 8 = 65536 4 9 = 262144 4 10 = 1048576	5 1 = 5 5 2 = 25 5 3 = 125 5 4 = 625 5 5 = 3125 5 6 = 15625 5 7 = 78125 5 8 = 390625 5 9 = 1953125 5 10 = 9765625
6 1 = 6 6 2 = 36 6 3 = 216 6 4 = 1296 6 5 = 7776 6 6 = 46656 6 7 = 279936 6 8 = 1679616 6 9 = 10077696 6 10 = 60466176	7 1 = 7 7 2 = 49 7 3 = 343 7 4 = 2401 7 5 = 16807 7 6 = 117649 7 7 = 823543 7 8 = 5764801 7 9 = 40353607 7 10 = 282475249	8 1 = 8 8 2 = 64 8 3 = 512 8 4 = 4096 8 5 = 32768 8 6 = 262144 8 7 = 2097152 8 8 = 16777216 8 9 = 134217728 8 10 = 1073741824	9 1 = 9 9 2 = 81 9 3 = 729 9 4 = 6561 9 5 = 59049 9 6 = 531441 9 7 = 4782969 9 8 = 43046721 9 9 = 387420489 9 10 = 3486784401	10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10000 10 5 = 100000 10 6 = 1000000 10 7 = 10000000 10 8 = 100000000 10 9 = 1000000000 10 10 = 10000000000

Teoria

Grau deé uma forma abreviada da operação de multiplicar repetidamente um número por ele mesmo. O próprio número, neste caso, é chamado - base de graduação, e o número de operações de multiplicação é expoente.

uma n = uma×uma… ×uma

a entrada diz: "a" elevado a "n".

"a" é a base do grau

"n" - expoente

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Esta expressão diz: 4 elevado a 6 ou a sexta potência do número quatro ou aumente o número quatro à sexta potência.

Baixe a tabela de graus

• Clique na imagem para visualizá-la ampliada.
• Clique em “download” para salvar a imagem em seu computador. A imagem será de alta resolução e de boa qualidade.

Alpha significa número real. O sinal de igual nas expressões acima indica que se você adicionar um número ou infinito ao infinito, nada mudará, o resultado será o mesmo infinito. Se tomarmos como exemplo o conjunto infinito de números naturais, então os exemplos considerados podem ser representados da seguinte forma:

Para provar claramente que estavam certos, os matemáticos criaram muitos métodos diferentes. Pessoalmente, considero todos esses métodos como xamãs dançando com pandeiros. Essencialmente, todos se resumem ao facto de alguns dos quartos estarem desocupados e novos hóspedes estarem a entrar, ou de alguns dos visitantes serem atirados para o corredor para dar lugar aos hóspedes (muito humanamente). Apresentei minha opinião sobre tais decisões na forma de uma história de fantasia sobre a Loira. Em que se baseia o meu raciocínio? A realocação de um número infinito de visitantes leva um tempo infinito. Depois de desocuparmos o primeiro quarto de um hóspede, um dos visitantes percorrerá sempre o corredor do seu quarto para o seguinte até ao fim dos tempos. É claro que o factor tempo pode ser estupidamente ignorado, mas isto estará na categoria de “nenhuma lei foi escrita para tolos”. Tudo depende do que estamos fazendo: ajustando a realidade às teorias matemáticas ou vice-versa.

O que é um “hotel sem fim”? Um hotel infinito é um hotel que tem sempre qualquer número de camas vazias, independentemente de quantos quartos estejam ocupados. Se todos os quartos do interminável corredor de “visitantes” estiverem ocupados, surge outro corredor interminável com quartos de “convidados”. Haverá um número infinito de tais corredores. Além disso, o “hotel infinito” tem um número infinito de andares num número infinito de edifícios num número infinito de planetas num número infinito de universos criados por um número infinito de Deuses. Os matemáticos não conseguem se distanciar dos problemas banais do cotidiano: sempre existe um só Deus-Alá-Buda, só existe um hotel, só existe um corredor. Assim, os matemáticos estão a tentar fazer malabarismos com os números de série dos quartos de hotel, convencendo-nos de que é possível “empurrar o impossível”.

Vou demonstrar a lógica do meu raciocínio usando o exemplo de um conjunto infinito de números naturais. Primeiro você precisa responder a uma pergunta muito simples: quantos conjuntos de números naturais existem - um ou muitos? Não existe uma resposta correta para esta pergunta, uma vez que nós mesmos inventamos os números; os números não existem na Natureza. Sim, a Natureza é ótima em contar, mas para isso utiliza outras ferramentas matemáticas que não nos são familiares. Direi o que a Natureza pensa em outra ocasião. Como inventamos os números, nós mesmos decidiremos quantos conjuntos de números naturais existem. Vamos considerar ambas as opções, como convém aos verdadeiros cientistas.

Opção um. “Deixe-nos receber” um único conjunto de números naturais, que fica serenamente na prateleira. Tiramos este conjunto da prateleira. É isso, não há outros números naturais na prateleira e nenhum lugar para levá-los. Não podemos adicionar um a este conjunto, pois já o temos. E se você realmente quiser? Sem problemas. Podemos pegar um do conjunto que já pegamos e devolvê-lo à prateleira. Depois disso, podemos tirar um da prateleira e adicionar ao que sobrou. Como resultado, obteremos novamente um conjunto infinito de números naturais. Você pode anotar todas as nossas manipulações assim:

Anotei as ações em notação algébrica e em notação de teoria dos conjuntos, com uma listagem detalhada dos elementos do conjunto. O subscrito indica que temos um único conjunto de números naturais. Acontece que o conjunto dos números naturais permanecerá inalterado somente se um for subtraído dele e a mesma unidade for adicionada.

Opção dois. Temos muitos conjuntos infinitos diferentes de números naturais em nossa estante. Enfatizo - DIFERENTES, apesar de serem praticamente indistinguíveis. Vamos pegar um desses conjuntos. Depois pegamos um de outro conjunto de números naturais e adicionamos ao conjunto que já pegamos. Podemos até adicionar dois conjuntos de números naturais. Isto é o que obtemos:

Os subscritos “um” e “dois” indicam que esses elementos pertenciam a conjuntos diferentes. Sim, se você adicionar um a um conjunto infinito, o resultado também será um conjunto infinito, mas não será igual ao conjunto original. Se você adicionar outro conjunto infinito a um conjunto infinito, o resultado será um novo conjunto infinito composto pelos elementos dos dois primeiros conjuntos.

O conjunto dos números naturais é usado para contar da mesma forma que uma régua é para medir. Agora imagine que você adicionou um centímetro à régua. Esta será uma linha diferente, não igual à original.

Você pode aceitar ou não meu raciocínio - é problema seu. Mas se você alguma vez encontrar problemas matemáticos, pense se você está seguindo o caminho do falso raciocínio trilhado por gerações de matemáticos. Afinal, estudar matemática, antes de tudo, forma em nós um estereótipo estável de pensamento, e só então aumenta nossas habilidades mentais (ou, inversamente, nos priva do pensamento livre).

Domingo, 4 de agosto de 2019

Eu estava terminando um pós-escrito para um artigo sobre e vi este texto maravilhoso na Wikipedia:

Lemos: “... a rica base teórica da matemática da Babilônia não tinha um caráter holístico e foi reduzida a um conjunto de técnicas díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências”.

Uau! Quão inteligentes somos e quão bem podemos ver as deficiências dos outros. É difícil para nós olharmos para a matemática moderna no mesmo contexto? Parafraseando ligeiramente o texto acima, pessoalmente obtive o seguinte:

A rica base teórica da matemática moderna não é de natureza holística e é reduzida a um conjunto de seções díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências.

Não irei muito longe para confirmar as minhas palavras - tem uma linguagem e convenções que são diferentes da linguagem e das convenções de muitos outros ramos da matemática. Os mesmos nomes em diferentes ramos da matemática podem ter significados diferentes. Quero dedicar toda uma série de publicações aos erros mais óbvios da matemática moderna. Vejo você em breve.

Sábado, 3 de agosto de 2019

Como dividir um conjunto em subconjuntos? Para isso, é necessário inserir uma nova unidade de medida que esteja presente em alguns dos elementos do conjunto selecionado. Vejamos um exemplo.

Que tenhamos bastante A composto por quatro pessoas. Este conjunto é formado com base em “pessoas”. Vamos denotar os elementos deste conjunto pela letra A, o subscrito com um número indicará o número de série de cada pessoa deste conjunto. Vamos apresentar uma nova unidade de medida "gênero" e denotá-la pela letra b. Como as características sexuais são inerentes a todas as pessoas, multiplicamos cada elemento do conjunto A com base no gênero b. Observe que o nosso conjunto de “pessoas” tornou-se agora um conjunto de “pessoas com características de género”. Depois disso podemos dividir as características sexuais em masculinas bm e mulheres cara características sexuais. Agora podemos aplicar um filtro matemático: selecionamos uma dessas características sexuais, não importa qual seja - masculina ou feminina. Se uma pessoa tem, então multiplicamos por um, se não houver tal sinal, multiplicamos por zero. E então usamos a matemática escolar regular. Veja o que aconteceu.

Após multiplicação, redução e rearranjo, ficamos com dois subconjuntos: o subconjunto dos homens Bm e um subconjunto de mulheres Bw. Os matemáticos raciocinam aproximadamente da mesma maneira quando aplicam a teoria dos conjuntos na prática. Mas eles não nos contam os detalhes, mas nos dão o resultado final - “muitas pessoas consistem em um subconjunto de homens e um subconjunto de mulheres”. Naturalmente, você pode ter uma pergunta: até que ponto a matemática foi aplicada corretamente nas transformações descritas acima? Atrevo-me a garantir que essencialmente tudo foi feito corretamente, basta conhecer as bases matemáticas da aritmética, da álgebra booleana e de outros ramos da matemática. O que é isso? Em outra ocasião contarei a você sobre isso.

Quanto aos superconjuntos, você pode combinar dois conjuntos em um superconjunto selecionando a unidade de medida presente nos elementos desses dois conjuntos.

Como você pode ver, as unidades de medida e a matemática comum fazem da teoria dos conjuntos uma relíquia do passado. Um sinal de que nem tudo está bem com a teoria dos conjuntos é que os matemáticos criaram sua própria linguagem e notação para a teoria dos conjuntos. Os matemáticos agiram como antes os xamãs. Somente os xamãs sabem como aplicar “corretamente” seu “conhecimento”. Eles nos ensinam esse “conhecimento”.

Concluindo, quero mostrar como os matemáticos manipulam.

Segunda-feira, 7 de janeiro de 2019

No século V a.C., o antigo filósofo grego Zenão de Eleia formulou as suas famosas aporias, a mais famosa das quais é a aporia “Aquiles e a Tartaruga”. Aqui está o que parece:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo que Aquiles leva para percorrer essa distância, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Quando Aquiles dá cem passos, a tartaruga rasteja mais dez passos e assim por diante. O processo continuará ad infinitum, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio tornou-se um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos consideraram a aporia de Zenão de uma forma ou de outra. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam até hoje; a comunidade científica ainda não foi capaz de chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo da questão ; nenhum deles se tornou uma solução geralmente aceita para o problema..."[Wikipedia, "Aporia de Zenão". Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende em que consiste o engano.

Do ponto de vista matemático, Zenão, em sua aporia, demonstrou claramente a transição da quantidade para. Esta transição implica aplicação em vez de permanente. Pelo que entendi, o aparato matemático para usar unidades de medida variáveis ​​ou ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. Aplicar nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, devido à inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao valor recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo está desacelerando até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não poderá mais fugir da tartaruga.

Se invertermos a nossa lógica habitual, tudo se encaixará. Aquiles corre com velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de “infinito” nesta situação, então seria correto dizer “Aquiles alcançará a tartaruga infinitamente rápido”.

Como evitar esta armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para unidades recíprocas. Na linguagem de Zenão é assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a irresistibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão “Aquiles e a Tartaruga”. Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução não deve ser procurada em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora está imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento uma flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Outro ponto precisa ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar se um carro está se movendo, você precisa de duas fotografias tiradas do mesmo ponto em momentos diferentes, mas não pode determinar a distância delas. Para determinar a distância até um carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos do espaço em um momento, mas a partir delas você não pode determinar o fato do movimento (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria irá ajudá-lo ). O que quero chamar especial atenção é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, porque proporcionam oportunidades diferentes de investigação.

Quarta-feira, 4 de julho de 2018

Já lhe disse isso com a ajuda do qual os xamãs tentam ordenar a ““realidade”. Como eles fazem isso? Como realmente ocorre a formação de um conjunto?

Vejamos mais de perto a definição de conjunto: “uma coleção de diferentes elementos, concebidos como um todo único”. Agora sinta a diferença entre duas frases: “concebível como um todo” e “concebível como um todo”. A primeira frase é o resultado final, o conjunto. A segunda frase é uma preparação preliminar para a formação de uma multidão. Nesta fase, a realidade é dividida em elementos individuais (o “todo”), a partir dos quais se formará uma multidão (o “todo único”). Ao mesmo tempo, o fator que permite combinar o “todo” em um “todo único” é monitorado cuidadosamente, caso contrário os xamãs não terão sucesso. Afinal, os xamãs sabem de antemão exatamente que conjunto querem nos mostrar.

Vou mostrar o processo com um exemplo. Selecionamos o “sólido vermelho em uma espinha” - este é o nosso “todo”. Ao mesmo tempo, vemos que essas coisas estão com arco e outras sem arco. Depois disso, selecionamos parte do “todo” e formamos um conjunto “com laço”. É assim que os xamãs obtêm seu alimento, vinculando sua teoria dos conjuntos à realidade.

Agora vamos fazer um pequeno truque. Vamos pegar “sólido com espinha com laço” e combinar esses “todos” de acordo com a cor, selecionando os elementos vermelhos. Temos muito "vermelho". Agora a questão final: os conjuntos resultantes “com laço” e “vermelho” são o mesmo conjunto ou dois conjuntos diferentes? Somente os xamãs sabem a resposta. Mais precisamente, eles próprios não sabem de nada, mas como dizem, assim será.

Este exemplo simples mostra que a teoria dos conjuntos é completamente inútil quando se trata da realidade. Qual é o segredo? Formamos um conjunto de “sólido vermelho com uma espinha e um laço”. A formação ocorreu em quatro unidades de medida diferentes: cor (vermelho), resistência (sólida), rugosidade (espinhosa), decoração (com laço). Somente um conjunto de unidades de medida nos permite descrever adequadamente objetos reais na linguagem da matemática. Isto é o que parece.

A letra "a" com índices diferentes denota diferentes unidades de medida. As unidades de medida pelas quais o “todo” é distinguido na fase preliminar são destacadas entre parênteses. A unidade de medida pela qual o conjunto é formado é retirada dos colchetes. A última linha mostra o resultado final - um elemento do conjunto. Como você pode ver, se usarmos unidades de medida para formar um conjunto, o resultado não dependerá da ordem de nossas ações. E isso é matemática, e não a dança dos xamãs com pandeiros. Os xamãs podem “intuitivamente” chegar ao mesmo resultado, argumentando que é “óbvio”, porque as unidades de medida não fazem parte do seu arsenal “científico”.

Usando unidades de medida, é muito fácil dividir um conjunto ou combinar vários conjuntos em um superconjunto. Vamos dar uma olhada mais de perto na álgebra desse processo.

Sábado, 30 de junho de 2018

Se os matemáticos não conseguem reduzir um conceito a outros conceitos, então não entendem nada de matemática. Eu respondo: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? A resposta é muito simples: números e unidades de medida.

Hoje, tudo o que não pegamos pertence a algum conjunto (como nos asseguram os matemáticos). Aliás, você viu no espelho da sua testa uma lista dos conjuntos aos quais você pertence? E eu não vi essa lista. Direi mais - na realidade, nem uma única coisa tem uma etiqueta com uma lista dos conjuntos aos quais essa coisa pertence. Conjuntos são todos invenções de xamãs. Como eles fazem isso? Vamos nos aprofundar um pouco mais na história e ver como eram os elementos do conjunto antes de os xamãs matemáticos os incluírem em seus conjuntos.

Há muito tempo atrás, quando ninguém nunca tinha ouvido falar de matemática, e apenas as árvores e Saturno tinham anéis, enormes rebanhos de elementos selvagens de conjuntos vagavam pelos campos físicos (afinal, os xamãs ainda não haviam inventado os campos matemáticos). Eles pareciam algo assim.

Sim, não se surpreenda, do ponto de vista da matemática, todos os elementos dos conjuntos são mais semelhantes a ouriços-do-mar- de um ponto, como agulhas, unidades de medida se projetam em todas as direções. Para quem, lembro que qualquer unidade de medida pode ser representada geometricamente como um segmento de comprimento arbitrário, e um número como um ponto. Geometricamente, qualquer quantidade pode ser representada como um monte de segmentos saindo de um ponto em diferentes direções. Este ponto é o ponto zero. Não vou desenhar esta obra de arte geométrica (sem inspiração), mas você pode facilmente imaginar.

Quais unidades de medida formam um elemento de um conjunto? Todos os tipos de coisas que descrevem um determinado elemento de diferentes pontos de vista. Estas são unidades de medida antigas que nossos ancestrais usaram e das quais todos há muito se esqueceram. Estas são as unidades de medida modernas que usamos agora. Estas são também unidades de medida desconhecidas para nós, que os nossos descendentes inventarão e que usarão para descrever a realidade.

Resolvemos a geometria - o modelo proposto dos elementos do conjunto tem uma representação geométrica clara. E a física? Unidades de medida são a conexão direta entre matemática e física. Se os xamãs não reconhecem as unidades de medida como um elemento completo das teorias matemáticas, o problema é deles. Pessoalmente, não consigo imaginar a verdadeira ciência da matemática sem unidades de medida. É por isso que, logo no início da história sobre a teoria dos conjuntos, falei dela como estando na Idade da Pedra.

Mas vamos ao que há de mais interessante - a álgebra dos elementos dos conjuntos. Algebricamente, qualquer elemento de um conjunto é um produto (resultado da multiplicação) de quantidades diferentes.

Deliberadamente não utilizei as convenções da teoria dos conjuntos, uma vez que estamos considerando um elemento de um conjunto no seu ambiente natural antes do surgimento da teoria dos conjuntos. Cada par de letras entre colchetes denota uma quantidade separada, consistindo em um número indicado pela letra " n" e a unidade de medida indicada pela letra " a". Os índices próximos às letras indicam que os números e unidades de medida são diferentes. Um elemento do conjunto pode consistir em um número infinito de quantidades (quanto nós e nossos descendentes tivermos imaginação suficiente). Cada colchete é representado geometricamente como um segmento separado. No exemplo do ouriço-do-mar, um colchete é uma agulha.

Como os xamãs formam conjuntos de diferentes elementos? Na verdade, por unidades de medida ou por números. Não entendendo nada de matemática, eles pegam diferentes ouriços-do-mar e os examinam cuidadosamente em busca daquela única agulha, ao longo da qual formam um conjunto. Se tal agulha existir, então este elemento pertence ao conjunto; se não existir tal agulha, então este elemento não pertence a este conjunto. Os xamãs nos contam fábulas sobre os processos de pensamento e o todo.

Como você deve ter adivinhado, o mesmo elemento pode pertencer a conjuntos muito diferentes. A seguir mostrarei como são formados conjuntos, subconjuntos e outras bobagens xamânicas. Como você pode ver, “não pode haver dois elementos idênticos em um conjunto”, mas se houver elementos idênticos em um conjunto, tal conjunto é chamado de “multiconjunto”. Seres razoáveis ​​nunca compreenderão uma lógica tão absurda. Este é o nível dos papagaios falantes e dos macacos treinados, que não têm inteligência para a palavra “completamente”. Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando-nos as suas ideias absurdas.

Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte enquanto testavam a ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morreria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.

Não importa o quanto os matemáticos se escondam atrás da frase “lembre-se, estou em casa”, ou melhor, “a matemática estuda conceitos abstratos”, existe um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente à realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Apliquemos a teoria matemática dos conjuntos aos próprios matemáticos.

Estudamos muito bem matemática e agora estamos sentados na caixa registradora distribuindo salários. Então, um matemático vem até nós em busca de dinheiro. Contamos para ele o valor total e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Depois pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu “conjunto matemático de salário”. Expliquemos ao matemático que ele só receberá as notas restantes quando provar que um conjunto sem elementos idênticos não é igual a um conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.

Em primeiro lugar, funcionará a lógica dos deputados: “Isso pode ser aplicado aos outros, mas não a mim!” Então começarão a nos garantir que notas do mesmo valor têm números de notas diferentes, o que significa que não podem ser consideradas os mesmos elementos. Ok, vamos contar os salários em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático começará a lembrar-se freneticamente da física: diferentes moedas têm diferentes quantidades de sujeira, a estrutura cristalina e a disposição dos átomos são únicas para cada moeda...

E agora tenho a pergunta mais interessante: onde está a linha além da qual os elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Essa linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência não está nem perto de mentir aqui.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. As áreas dos campos são iguais - o que significa que temos um multiset. Mas se olharmos os nomes desses mesmos estádios, temos muitos, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto. Qual é correto? E aqui o matemático-xamã-aficionado tira um ás de trunfo da manga e começa a nos contar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que tem razão.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, vinculando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou mostrar a você sem qualquer "concebível como não um todo" ou "não concebível como um todo".

É hora de fazer um pouco de matemática. Você ainda se lembra de quanto custa se dois forem multiplicados por dois?

Se alguém esqueceu, serão quatro. Parece que todo mundo se lembra e conhece a tabuada, porém, descobri um grande número de solicitações ao Yandex como “tabuada” ou mesmo “baixar tabuada”(!). É para esta categoria de usuários, bem como para os mais avançados que já se interessam por quadrados e potências, que estou postando todas essas tabelas. Você pode até baixar para sua saúde! Então:

Tabela de multiplicação

(números inteiros de 1 a 20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Tabela de quadrados

(números inteiros de 1 a 100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

Tabela de graus

(números inteiros de 1 a 10)

1 elevado à potência:

2 elevado à potência:

3 elevado à potência:

4 elevado à potência:

5 elevado à potência:

6 elevado à potência:

7 elevado à potência:

7 10 = 282475249

8 elevado à potência:

8 10 = 1073741824

9 elevado à potência:

9 10 = 3486784401

10 elevado à potência:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

Continuando a conversa sobre a potência de um número, é lógico descobrir como encontrar o valor da potência. Este processo é chamado exponenciação. Neste artigo estudaremos como a exponenciação é realizada, enquanto abordaremos todos os expoentes possíveis - naturais, inteiros, racionais e irracionais. E de acordo com a tradição, consideraremos detalhadamente soluções para exemplos de elevação de números a várias potências.

Navegação na página.

O que significa "exponencialização"?

Vamos começar explicando o que é chamado de exponenciação. Aqui está a definição relevante.

Definição.

Exponenciação- isto é encontrar o valor da potência de um número.

Assim, encontrar o valor da potência de um número a com expoente r e elevar o número a à potência r são a mesma coisa. Por exemplo, se a tarefa for “calcular o valor da potência (0,5) 5”, então ela pode ser reformulada da seguinte forma: “Eleve o número 0,5 à potência 5”.

Agora você pode ir diretamente para as regras pelas quais a exponenciação é executada.

Elevando um número a uma potência natural

Na prática, a igualdade baseada em é geralmente aplicada na forma . Ou seja, ao elevar um número a a uma potência fracionária m/n, primeiro é obtida a enésima raiz do número a, após o que o resultado resultante é elevado a uma potência inteira m.

Vejamos soluções para exemplos de elevação a uma potência fracionária.

Exemplo.

Calcule o valor do grau.

Solução.

Mostraremos duas soluções.

Primeira maneira. Por definição de grau com expoente fracionário. Calculamos o valor do grau sob o sinal da raiz e, em seguida, extraímos a raiz cúbica: .

Segunda maneira. Pela definição de um grau com expoente fracionário e com base nas propriedades das raízes, as seguintes igualdades são verdadeiras: . Agora extraímos a raiz , finalmente, nós o elevamos a uma potência inteira .

Obviamente, os resultados obtidos ao elevar a uma potência fracionária coincidem.

Responder:

Observe que um expoente fracionário pode ser escrito como uma fração decimal ou um número misto, nestes casos deve ser substituído pela fração ordinária correspondente e depois elevado a uma potência.

Exemplo.

Calcule (44,89) 2,5.

Solução.

Vamos escrever o expoente como uma fração ordinária (se necessário, veja o artigo): . Agora realizamos o aumento para uma potência fracionária:

Responder:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Deve-se dizer também que elevar números a potências racionais é um processo bastante trabalhoso (especialmente quando o numerador e o denominador do expoente fracionário contêm números suficientemente grandes), que geralmente é realizado por meio de tecnologia de informática.

Para concluir este ponto, vamos nos concentrar em elevar o número zero a uma potência fracionária. Demos o seguinte significado à potência fracionária de zero da forma: quando temos , e em zero elevado à potência m/n não está definido. Então, zero elevado a uma potência positiva fracionária é zero, por exemplo, . E zero em uma potência negativa fracionária não faz sentido, por exemplo, as expressões 0 -4,3 não fazem sentido.

Elevando-se a um poder irracional

Às vezes é necessário descobrir o valor da potência de um número com expoente irracional. Neste caso, para fins práticos, geralmente é suficiente obter o valor do grau com precisão de um determinado sinal. Observemos imediatamente que na prática esse valor é calculado por meio de computadores eletrônicos, pois aumentá-lo manualmente a uma potência irracional requer um grande número de cálculos complicados. Mas ainda descreveremos em termos gerais a essência das ações.

Para obter um valor aproximado da potência de um número a com um expoente irracional, é feita alguma aproximação decimal do expoente e o valor da potência é calculado. Este valor é um valor aproximado da potência do número a com um expoente irracional. Quanto mais precisa for a aproximação decimal de um número inicialmente, mais preciso será o valor do grau no final.

Como exemplo, vamos calcular o valor aproximado da potência de 2 1,174367... . Vamos fazer a seguinte aproximação decimal do expoente irracional: . Agora elevamos 2 à potência racional 1,17 (descrevemos a essência deste processo no parágrafo anterior), obtemos 2 1,17 ≈2,250116. Por isso, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se fizermos uma aproximação decimal mais precisa do expoente irracional, por exemplo, obteremos um valor mais preciso do expoente original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Livro didático de matemática para o 5º ano. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 7ª série. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 8ª série. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para o 9º ano. instituições educacionais.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: livro didático para as séries 10 a 11 de instituições de ensino geral.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa em escolas técnicas).